Première C · Leçon 15
Produit scalaire et produit vectoriel dans l’espace
Exercices corrigés
QCM — Produit scalaire, vecteur normal, perpendicularité
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$ b) colinéaires c) égaux d) coplanaires seulement
2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$ b) $34$ c) $10$ d) $\sqrt{10}$
3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$ b) $(3;1;2)$ c) $(-3;-1;2)$ d) $(3;-1;-2)$
4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$ b) parallèles c) confondus d) ni perpendiculaires ni parallèles
Problème — Triangle rectangle dans l'espace et plans perpendiculaires
Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.
1) Calculer la distance $AB$.
2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.
3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.
4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$, $AB=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$.
- $\overrightarrow{AC}=(1;2;1)$. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=1(-2)+2(2)+1(-2)=-2+4-2=0$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
- $\vec n_P(1;-2;2)$, $\vec n_Q(2;1;-1)$.
- $\vec n_P\cdot\vec n_Q=1(2)+(-2)(1)+2(-1)=2-2-2=-2\neq0$ : les plans $P$ et $Q$ ne sont pas perpendiculaires.
Calculer un produit vectoriel et le contrôler
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct. On donne les vecteurs \(\vec u(2\,;1\,;-1)\) et \(\vec v(1\,;3\,;2)\).
1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\vec u\wedge\vec v\).
2) Vérifie, à l'aide du produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
3) Donne sans nouveau calcul les coordonnées de \(\vec v\wedge\vec u\) et de \((2\vec u)\wedge\vec v\), puis propose un vecteur à coordonnées plus simples, orthogonal à la fois à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
Voir le corrigé
1) On applique la formule \((yz'-zy'\,;\ zx'-xz'\,;\ xy'-yx')\) avec \(x=2\), \(y=1\), \(z=-1\) et \(x'=1\), \(y'=3\), \(z'=2\). Première coordonnée : \(1\times 2-(-1)\times 3=5\). Deuxième : \((-1)\times 1-2\times 2=-5\). Troisième : \(2\times 3-1\times 1=5\). Donc \(\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((5\,;-5\,;5)\).
2) Avec \(\vec u\) : \(5\times 2+(-5)\times 1+5\times(-1)=10-5-5=0\). Avec \(\vec v\) : \(5\times 1+(-5)\times 3+5\times 2=5-15+10=0\). Les deux produits scalaires sont nuls : le vecteur trouvé est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\), ce qui confirme le calcul.
3) Échanger les deux vecteurs change le signe : \(\vec v\wedge\vec u\) a pour coordonnées \((-5\,;5\,;-5)\). Multiplier un des vecteurs par 2 multiplie le produit par 2 : \((2\vec u)\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((10\,;-10\,;10)\). Enfin, tout vecteur colinéaire à \(\vec u\wedge\vec v\) et non nul convient : en divisant par 5, on obtient le vecteur de coordonnées \((1\,;-1\,;1)\).
Réponse : \(\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((5\,;-5\,;5)\) ; ses produits scalaires avec \(\vec u\) et \(\vec v\) sont nuls ; \(\vec v\wedge\vec u\) a pour coordonnées \((-5\,;5\,;-5)\) et \((2\vec u)\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((10\,;-10\,;10)\) ; le vecteur \((1\,;-1\,;1)\) est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
Vecteur normal à un plan, aire d'un triangle
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct. On donne les points \(A(1\,;1\,;0)\), \(B(3\,;2\,;1)\) et \(C(2\,;0\,;2)\).
1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis celles de \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\).
2) Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ? Donne un vecteur normal au plan \((ABC)\) à coordonnées aussi simples que possible.
3) Calcule l'aire du triangle \(ABC\).
4) Un point \(M\) appartient au plan \((ABC)\) lorsque le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à un vecteur normal à ce plan. Les points \(E(2\,;2\,;0)\) et \(F(4\,;3\,;0)\) appartiennent-ils au plan \((ABC)\) ?