Première C · Leçon 6
Primitives
Exercices corrigés
Reconnaître une primitive
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=4x^3-6x+2\), et les fonctions \(F\), \(G\) et \(H\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)=x^4-3x^2+2x-7\), \(G(x)=x^4-3x^2+2x+1\) et \(H(x)=x^4-6x^2+2x\).
1) Montre que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) La fonction \(G\) est-elle une primitive de \(f\) ? Calcule \(G(x)-F(x)\) et explique le résultat.
3) La fonction \(H\) est-elle une primitive de \(f\) ? Justifie.
4) Donne l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
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1) Pour vérifier, on dérive \(F\). On a \(F'(x)=4x^3-3\times 2x+2-0=4x^3-6x+2\). On retrouve \(f(x)\) pour tout réel \(x\), donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) De même \(G'(x)=4x^3-6x+2=f(x)\), donc \(G\) est aussi une primitive de \(f\). On calcule \(G(x)-F(x)=1-(-7)=8\). C'est une constante : deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent toujours d'une constante.
3) On dérive \(H\) : \(H'(x)=4x^3-12x+2\). Le terme en \(x\) est \(-12x\) et non \(-6x\), donc \(H'(x)\ne f(x)\) dès que \(x\ne 0\). La fonction \(H\) n'est pas une primitive de \(f\).
4) Puisque \(F\) est une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(\mathbb{R}\), toutes les autres s'obtiennent en ajoutant une constante. Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(x\mapsto x^4-3x^2+2x+k\), où \(k\) est un réel quelconque (la constante \(-7\) de \(F\) est absorbée dans \(k\)).
Réponse : \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\), avec \(G-F=8\) ; \(H\) n'en est pas une car \(H'(x)=4x^3-12x+2\). Primitives de \(f\) : \(x^4-3x^2+2x+k\), \(k\) réel.
Primitive prenant une valeur donnée
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=6x^2-8x+3\).
1) Détermine toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(1)=5\).
3) Calcule \(F(2)\), puis contrôle ton résultat de la question 2 en dérivant \(F\).
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1) On cherche une primitive de chaque terme. Pour \(6x^2\) : \(6\times\dfrac{x^3}{3}=2x^3\). Pour \(-8x\) : \(-8\times\dfrac{x^2}{2}=-4x^2\). Pour la constante 3 : \(3x\). Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(x\mapsto 2x^3-4x^2+3x+k\), avec \(k\) réel.
2) On écrit \(F(x)=2x^3-4x^2+3x+k\) et on calcule \(F(1)=2-4+3+k=1+k\). La condition \(F(1)=5\) donne \(1+k=5\), donc \(k=4\). La primitive cherchée est \(F(x)=2x^3-4x^2+3x+4\).
3) On a \(F(2)=2\times 8-4\times 4+3\times 2+4=16-16+6+4=10\). Contrôle : \(F'(x)=6x^2-8x+3=f(x)\) et \(F(1)=2-4+3+4=5\). Les deux conditions sont bien vérifiées.
Réponse : Primitives : \(2x^3-4x^2+3x+k\). Avec \(F(1)=5\) : \(k=4\), \(F(x)=2x^3-4x^2+3x+4\) et \(F(2)=10\).
Polynôme, sinus et cosinus
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=6x+4\cos x+2\sin x\).
1) Détermine l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) qui prend la valeur 1 en 0.
3) Calcule les valeurs exactes de \(F(\pi)\) et de \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
4) Un élève propose \(G(x)=3x^2+4\sin x+2\cos x+3\). Montre, en dérivant, que \(G\) n'est pas une primitive de \(f\) et indique son erreur.
Une balle lancée du haut d'un immeuble
Du haut d'un immeuble, on lance une balle verticalement vers le haut. À l'instant \(t\) (en secondes, \(t\ge 0\)), la vitesse de la balle est \(v(t)=-10t+15\) (en mètres par seconde) et sa hauteur au-dessus du sol est \(h(t)\) (en mètres). On sait que la vitesse est la dérivée de la hauteur et qu'au départ \(h(0)=20\).
1) Justifie que \(h\) est une primitive de \(v\), puis détermine \(h(t)\).
2) À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ? Étudie le signe de \(v(t)\) et déduis-en la hauteur maximale atteinte par la balle.
3) À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?
4) Quelle est sa vitesse à cet instant ? Interprète le signe du résultat.