Première C · Leçon 14
Positions de droites et plans de l’espace
Exercices corrigés
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
QCM — Incidence, parallélisme et perspective
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles b) sont toujours parallèles c) sont toujours sécantes d) sont confondues
2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$ b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$ c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace d) $d$ est contenue dans un autre plan
3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$ b) alignés avec $A$ et $B$ c) situés sur la droite $(AB)$ d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement
4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés b) en trait plein plus épais c) en couleur d) elles ne sont pas représentées
Voir le corrigé
- Réponse : a. Définition des droites non coplanaires.
- Réponse : a. Règle clé du cours.
- Réponse : a. Généralisation dans l'espace de la médiatrice du plan.
- Réponse : a. Convention standard de la perspective cavalière.
Situation d'intégration — Charpente d'un chantier scolaire
Exercice 2 — Situation d'intégration
Sur le chantier de rénovation d'un lycée, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.
Consigne :
1) Donner le vecteur normal du plan $P$.
2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).
3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?
Exercice supplémentaire — Réservoir cubique
Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).
1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?
Problème — Plan déterminé par 3 points et position d'une droiteApprofondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Partie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.
1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).
3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.
4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?
5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;-3)$.
- Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étaient colinéaires, on aurait $2/1=-2/1$, ce qui est faux : ils ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan.
- $(ABC):\ \begin{cases}x=1+2t+t'\\y=-2t+t'\\z=2+2t-3t'\end{cases}$, $(t,t')\in\mathbb R^2$.
- $2+3-4-1=0$ : $D\in P$.
- Vecteur normal de $P$ : $\vec n(1;1;-1)$. $\vec n\cdot\vec v=1+1-1=1\neq0$ : $\vec v$ n'est pas orthogonal à $\vec n$, donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $P$ — elle lui est sécante. En paramétrant $\Delta:\ (2+s;3+s;4+s)$ et en substituant dans l'équation de $P$ : $(2+s)+(3+s)-(4+s)-1=s$, nul uniquement pour $s=0$ : l'unique point d'intersection est donc $D$ lui-même.
- En injectant $A(1;0;0)$ dans $ax+by+cz=d$ : $a=d$. En injectant $B(0;1;0)$ : $b=d$. En injectant $C(0;0;1)$ : $c=d$. Donc $a=b=c=d$ : en choisissant $d=1$, on obtient $a=b=c=1$, soit l'équation $x+y+z=1$. Vérification : $A$ : $1+0+0=1$ ✓ ; $B$ : $0+1+0=1$ ✓ ; $C$ : $0+0+1=1$ ✓.
- On remplace par les coordonnées de $D(1;1;1)$ : $1+1+1=3\neq1$. Donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
Approfondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Exercice 4 — Approfondissement
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.
1) On cherche une équation du plan $(ABC)$ sous la forme $ax+by+cz=d$. En utilisant les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, montrer que l'on peut choisir $a=b=c=1$ et $d=1$.
2) Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?