Première C · Leçon 3
Limites – continuité
Exercices corrigés
Situation d'intégration — Coût moyen de production
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une entreprise de transformation de céréales modélise le coût moyen de production (en FCFA par sac), en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour, par $C(x)=\dfrac{2000x+150\,000}{x}$ pour $x\in[1;+\infty[$ (nombre entier de sacs).
Consigne :
1) Écrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac bx$.
2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$, et interpréter ce résultat pour le gérant en termes de coût moyen minimal envisageable.
3) Combien de sacs faut-il produire par jour au minimum pour que le coût moyen descende strictement sous $2\,050$ FCFA par sac ?
Voir le corrigé
- $C(x)=\dfrac{2000x}{x}+\dfrac{150\,000}{x}=2000+\dfrac{150\,000}{x}$.
- $\dfrac{150\,000}{x}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc $C(x)\to2000$. Interprétation : quelle que soit la quantité produite, le coût moyen par sac ne pourra jamais descendre en-dessous de $2\,000$ FCFA (il s'en rapproche sans jamais l'atteindre) — c'est le coût variable par sac, une fois le coût fixe totalement « dilué ».
- $2000+\dfrac{150\,000}{x}<2050 \iff \dfrac{150\,000}{x}<50 \iff x>\dfrac{150\,000}{50}=3\,000$. Il faut produire strictement plus de $3\,000$ sacs par jour.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Voir le corrigé
- $2x+7=2(x+1)+5$, donc $f(x)=2+\dfrac5{x+1}$.
- En $\pm\infty$ : $f(x)\to2$ (asymptote $y=2$). En $(-1)^+$ : $x+1\to0^+$, donc $\dfrac5{x+1}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. En $(-1)^-$ : $x+1\to0^-$, donc $f(x)\to-\infty$. Asymptote verticale $x=-1$.
- $f(x)-2=\dfrac5{x+1}$. Donc $g(x)=|f(x)-2|=\left|\dfrac5{x+1}\right|=\dfrac5{|x+1|}$ (car $5>0$).
- $f(x)>2 \iff \dfrac5{x+1}>0 \iff x+1>0 \iff x>-1$ (car $5>0$, le quotient est du signe de $x+1$).
- Quand $x\to1^-$, le numérateur $x^2+1\to2>0$ et le dénominateur $x-1\to0^-$ : donc $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to1^+$, le dénominateur $\to0^+$ : donc $f(x)\to+\infty$. La droite d'équation $x=1$ est donc asymptote verticale à la courbe de $f$.
- On vérifie : $(x-1)(x+1)+2=x^2-1+2=x^2+1$. Donc $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)+2}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
- $f(x)-(x+1)=\dfrac{2}{x-1}$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac2{x-1}\to0$. La droite d'équation $y=x+1$ est donc asymptote oblique à la courbe de $f$ (en $+\infty$ et en $-\infty$).
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.