Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. L'application $f$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2+1$. L'application $g$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-3$. $(g\circ f)(x)$ est égal à :
a) $4x^2+4x-2$   b) $4x^2+1$   c) $2x^2+2x-3$   d) $4x^2-2$

4) Avec les mêmes $f$ et $g$ qu'en 3), $(f\circ g)(x)$ est égal à :
a) $2x^2-5$   b) $2x^2+5$   c) $4x^2-11$   d) $2x^2-6$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation du karité modélise le coût total de production (en francs CFA) de $x$ kilogrammes de beurre de karité par $C(x) = 500x + 20\,000$, pour $x\in[0;+\infty[$.

Consigne :

1) Montrer que $C$ est une bijection de $[0;+\infty[$ vers $[20\,000;+\infty[$.

2) Déterminer $C^{-1}(y)$ pour $y\geqslant20\,000$.

3) Lors d'une commande, la coopérative a dépensé exactement $145\,000$ FCFA. Combien de kilogrammes ont été produits ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Problème — Soit $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+4x+1$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ et déterminer $f^{-1}$. 2) Résoudre l'équation $f(x)=g(0)$.

Partie B. 1) Calculer $(g\circ f)(x)$ et $(f\circ g)(x)$. 2) Résoudre l'équation $(g\circ f)(x)=0$.

Partie C. Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on déterminera ses racines).

Exercice 4 — Approfondissement

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

1) Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $]1;+\infty[$.

2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

3) En déduire que $f$ réalise une bijection de $]1;+\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

4) Déterminer $f^{-1}(y)$ pour $y\in J$.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.