Équations – inéquations – polynômes – systèmes linéaires

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Exercice 1 — QCM autour de l'équation $\sqrt{x+3}=x-3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La condition d'existence de cette équation est :
a) $x\geqslant-3$   b) $x\geqslant3$   c) $x\geqslant0$   d) $x\leqslant3$

2) Après élévation au carré, l'équation obtenue est :
a) $x^2-7x+6=0$   b) $x^2-5x+6=0$   c) $x^2-6x+9=0$   d) $x^2-7x-6=0$

3) Les solutions de cette équation du second degré sont :
a) $1$ et $6$   b) $-1$ et $-6$   c) $2$ et $3$   d) $1$ et $-6$

4) La (les) solution(s) de l'équation de départ $\sqrt{x+3}=x-3$ est (sont) :
a) $x=1$   b) $x=6$   c) $x=1$ et $x=6$   d) aucune solution

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$   b) $49$   c) $-1$   d) $25$

2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$   b) $-1$ et $-2$   c) $2$ et $-1$   d) $3$ et $-1$

3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$   b) $(x-2)^2+3$   c) $(x+2)^2-3$   d) $(x-4)^2+1$

4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif   b) négatif   c) nul   d) indéterminé

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative fruitière de la Boucle du Mouhoun modélise son bénéfice mensuel (en milliers de FCFA), en fonction du tonnage $x$ de mangues séchées vendues, par $B(x)=x^3-7x^2+7x+15$ pour $x\in[0;10]$. Un stagiaire a déjà repéré que $B(5)=0$ (seuil de rentabilité nulle à $5$ tonnes), et le gérant veut savoir s'il existe un autre seuil de rentabilité nulle dans la plage d'exploitation habituelle $[0;10]$.

Consigne :

1) Vérifier que $5$ est racine de $B$, puis déterminer les réels $a,b$ tels que $B(x)=(x-5)(x^2+ax+b)$.

2) Résoudre complètement l'équation $B(x)=0$.

3) Le gérant peut-il affirmer qu'aucun autre seuil de rentabilité nulle n'existe sur $[0;10]$ ? Conclure.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le comité des fêtes d'un lycée achète 3 types d'articles pour la kermesse annuelle : des t-shirts (2 000 FCFA l'unité), des casquettes (1 500 FCFA l'unité) et des gourdes (3 000 FCFA l'unité). On note $x$, $y$, $z$ les nombres respectifs de t-shirts, casquettes et gourdes achetés. Le comité a acheté $30$ articles au total, pour une dépense totale de $57\,500$ FCFA, et il a acheté deux fois plus de t-shirts que de gourdes.

Consigne :

1) Traduire l'énoncé par un système de 3 équations à 3 inconnues $x$, $y$, $z$.

2) Résoudre ce système par la méthode du pivot de Gauss.

3) Combien de casquettes le comité a-t-il achetées ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Exercice supplémentaire. On considère $R(x)=x^2-2x+5$.

1) Calculer le discriminant de $R$.
2) Que peut-on en conclure sur les racines réelles de $R$ ?
3) Étudier le signe de $R(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (indication : forme canonique).

Partie A — Équation avec radical. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x-2}=2x-3$.

Partie B — Système linéaire. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système :

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.