Dérivation

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$   b) $3x^2-2x$   c) $x^2-2$   d) $3x-2$

2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$   b) $8$   c) $12$   d) $6$

3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$   b) $y=-x+1$   c) $y=x-1$   d) $y=-2x+1$

4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$   b) $\dfrac1{(x+1)^2}$   c) $\dfrac{-1}{x+1}$   d) $\dfrac1{x+1}$

Exercice 1 — QCM autour de $r(x)=x^2-4x+3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $r'(x)$ est égal à :
a) $2x-4$   b) $x-4$   c) $2x-2$   d) $2x+4$

2) $r'(x)$ s'annule en :
a) $x=2$   b) $x=4$   c) $x=-2$   d) $x=0$

3) Sur l'intervalle $[2;5]$, la fonction $r$ est :
a) strictement croissante   b) strictement décroissante   c) constante   d) ni croissante ni décroissante

4) D'après le théorème de la bijection, $r$ réalise une bijection de $[2;5]$ vers :
a) $[-1;8]$   b) $[-4;8]$   c) $[0;8]$   d) $[-1;5]$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un taxi-brousse effectue le trajet entre deux villes. La distance parcourue (en km), en fonction du temps $t$ (en heures) depuis le départ, est modélisée par $d(t)=-5t^2+50t$ pour $t\in[0;5]$ (le taxi ralentit progressivement en fin de trajet à l'approche de la capitale).

Consigne :

1) Calculer $d'(t)$, qui représente la vitesse instantanée (en km/h) à l'instant $t$.

2) Calculer la vitesse du taxi à $t=1$ h puis à $t=4$ h. Que remarque-t-on ?

3) À quel instant $t\in[0;5]$ la vitesse instantanée est-elle nulle ? Que peut-on en déduire sur le trajet à cet instant ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien agricole doit déterminer la quantité $x$ (en kg) d'engrais NPK à épandre sur une parcelle, pour que le rendement modélisé par $R(x)=-x^2+10x-9$ (rendement en quintaux, pour $x\in[1;9]$) atteigne exactement $R(x)=15$ quintaux, seuil fixé par la coopérative.

Consigne :

1) Calculer $R'(x)$ et étudier son signe sur $[1;9]$.

2) On se place sur l'intervalle $[5;9]$. Montrer que $R$ y réalise une bijection vers un intervalle que l'on précisera.

3) En déduire s'il existe une unique quantité $x\in[5;9]$ vérifiant $R(x)=15$, puis la déterminer en résolvant l'équation.

Exercice supplémentaire. Un artisan dispose de barres de fer dont la longueur $x$ (en mètres) vérifie $2\le x\le5$.

1) Donner un majorant et un minorant de cet ensemble de longueurs.
2) Deux barres de longueurs $x_1$ et $x_2$ vérifient les mêmes contraintes : encadrer $x_1+x_2$ puis $x_1-x_2$.
3) L'artisan affirme que $|x_1-x_2|$ ne dépasse jamais $3$ m. A-t-il raison ?

Soit $p(x)=x^3-3x+2$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Calculer $p'(x)$. 2) Résoudre $p'(x)=0$. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse $x=2$.

Partie B. 4) Vérifier que $p(1)=0$. En déduire les réels $a,b$ tels que $p(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$, puis résoudre complètement l'équation $p(x)=0$ dans $\mathbb R$.

Soit $t(x)=x^2-2x-3$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Étudier le signe de $t'(x)$ et dresser le sens de variation de $t$ (on précisera son minimum). 2) Montrer que l'équation $t(x)=0$ admet une unique solution dans $[3;6]$ à l'aide du théorème de la bijection monotone, puis la déterminer.

Partie B. 3) Factoriser complètement $t(x)$ et en déduire toutes les racines de $t$ sur $\mathbb R$. 4) Sur quel intervalle la courbe de $|t|$ diffère-t-elle de celle de $t$ ?

Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.