Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un lycée, 150 élèves pratiquent le football, 90 le basketball, et 40 pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins l'un des deux sports ?
a) $200$   b) $240$   c) $150$   d) $280$

2) Un menu de cantine propose 5 entrées et 3 desserts. Le nombre de menus (entrée, dessert) possibles est :
a) $15$   b) $8$   c) $25$   d) $10$

3) Un ensemble $E$ a pour cardinal $4$. Le nombre de parties de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$) est :
a) $16$   b) $8$   c) $24$   d) $4$

4) Un code PIN à 4 chiffres (chiffres de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : le nombre de codes possibles est :
a) $10\,000$   b) $5\,040$   c) $210$   d) $40$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un podium (1ʳᵉ, 2ᵉ, 3ᵉ place) doit être établi parmi 10 athlètes lors d'une course scolaire. Le nombre de podiums possibles est :
a) $720$   b) $1\,000$   c) $120$   d) $30$

2) Une délégation de 4 élèves (rôles interchangeables) doit être choisie parmi 12 candidats. Le nombre de délégations possibles est :
a) $495$   b) $11\,880$   c) $20\,736$   d) $66$

3) Dans le développement de $(x+y)^5$, le coefficient de $x^3y^2$ est :
a) $10$   b) $5$   c) $20$   d) $15$

4) Par convention, $0!$ est égal à :
a) $1$   b) $0$   c) indéfini   d) $-1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Dans un lycée comptant $250$ élèves, $160$ élèves étudient l'anglais renforcé, $95$ étudient l'espagnol, et $30$ étudient les deux langues renforcées à la fois.

Consigne :

1) Combien d'élèves étudient au moins une des deux langues renforcées ?

2) Le proviseur souhaite savoir combien d'élèves n'étudient aucune des deux langues renforcées, afin de leur proposer un club de soutien. Répondre à sa question.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Lors de la fête de fin d'année d'un lycée, une tombola est organisée : $8$ lots différents doivent être distribués à $8$ élèves différents, tirés au sort parmi les $40$ élèves participants. Chaque élève tiré ne peut remporter qu'un seul lot, et l'ordre du tirage détermine quel lot chacun reçoit (le premier élève tiré reçoit le lot n°1, le deuxième le lot n°2, etc.).

Consigne :

1) S'agit-il d'un arrangement ou d'une combinaison ? Justifier.

2) Écrire, sans le calculer entièrement, le produit donnant le nombre de répartitions différentes des 8 lots.

3) Le comité change finalement d'avis : les 8 lots sont en réalité identiques (des bons d'achat de même valeur). Écrire, sans le calculer entièrement, le nombre de façons de choisir les 8 élèves gagnants parmi les 40, dans ce nouveau cas.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

Un club scientifique compte $60$ lycéens. On note $A$ l'ensemble des membres aimant les mathématiques et $B$ l'ensemble des membres aimant la physique. On donne $\mathrm{Card}(A)=38$, $\mathrm{Card}(B)=29$ et $\mathrm{Card}(A\cup B)=52$.

Partie A. 1) Calculer $\mathrm{Card}(A\cap B)$. 2) En déduire le nombre de membres n'aimant ni l'une ni l'autre matière.

Partie B. Le bureau du club comprend deux postes indépendants : « responsable communication » et « responsable logistique ». Le règlement intérieur n'interdit pas qu'une même personne occupe les deux postes à la fois. 3) Combien de répartitions (responsable communication, responsable logistique) sont possibles parmi les $60$ membres ?

Exercice 4 — Approfondissement

Un comité de $5$ personnes doit être choisi parmi un groupe de $8$ hommes et $6$ femmes.

1) Combien de comités différents peut-on former, sans aucune contrainte ?

2) Combien de comités contiennent exactement $2$ femmes (et donc $3$ hommes) ?

3) Combien de comités contiennent au moins $1$ femme ?

Partie A. Un jury de 3 personnes (rôles interchangeables) doit être formé parmi 15 enseignants d'un lycée pour évaluer un concours de mathématiques. Parmi ces 15 enseignants, 6 enseignent les mathématiques.

1) Combien de jurys de 3 personnes peut-on former parmi les 15 enseignants ?

2) Combien de ces jurys ne comportent aucun professeur de mathématiques ?

3) En déduire le nombre de jurys comportant au moins un professeur de mathématiques.

Partie B. 4) Développer $(2x-3)^4$ à l'aide du triangle de Pascal.

Pour ranger des dossiers, on leur attribue un code formé d'une lettre choisie parmi A, B, C, suivie d'un chiffre choisi parmi 1, 2, 3, 4. Exemple : B3.

1) Décris l'arbre de choix qui donne tous les codes, puis indique combien de codes on peut former.

2) Combien de codes commencent par la lettre A ? Combien se terminent par un chiffre pair ?

3) Les codes ne suffisent plus : on ajoute à la fin une seconde lettre, choisie parmi A, B, C mais différente de la première. Exemple : B3A. Combien de codes obtient-on ? Combien se terminent par la lettre A ?

On lance un dé bleu et un dé jaune dont les faces sont numérotées de 1 à 4, et l'on note le produit des deux numéros obtenus.

1) Dresse le tableau à double entrée des produits. Combien y a-t-il de résultats possibles (un résultat est un couple : numéro bleu, numéro jaune) ?

2) Combien de résultats donnent un produit égal à 4 ? un produit au moins égal à 8 ?

3) Combien de résultats donnent un produit pair ?

4) Combien de produits différents peut-on obtenir ? Lequel est obtenu le plus souvent ?

Une fourmi se déplace sur les lignes d'un quadrillage. Elle part du point \(A\) et, à chaque pas, elle avance d'un carreau vers la droite (D) ou d'un carreau vers le haut (H). Elle veut atteindre le point \(B\), situé 2 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Un trajet se note par la suite de ses pas, par exemple DHHD.

1) Construis l'arbre de choix des trajets de \(A\) à \(B\) et donne leur liste. Combien y en a-t-il ?

2) Explique pourquoi on ne peut pas trouver ce nombre par le calcul \(2\times 2\times 2\times 2\).

3) Combien de trajets passent par le centre \(O\) du carré, situé 1 carreau à droite et 1 carreau au-dessus de \(A\) ?

4) La fourmi veut maintenant atteindre le point \(C\), situé 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Combien de trajets a-t-elle ? Tu peux classer les trajets selon leur dernier pas.