Angles orientés et trigonométrie

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\vec u(3;4)$ et $\vec v(4;-3)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $0$   b) $24$   c) $-24$   d) $25$

2) Deux vecteurs $\vec u$, $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u\cdot\vec v=1$

3) $\vec u(5;12)$, $\vec v(12;-5)$. Ces deux vecteurs sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

4) $\vec u(1;0)$, $\vec v(0;1)$. $\sin(\vec u,\vec v)$ vaut :
a) $0$   b) $-1$   c) $1$   d) $\dfrac12$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos(a+b)$ vaut :
a) $\cos a\cos b-\sin a\sin b$   b) $\cos a\cos b+\sin a\sin b$   c) $\sin a\cos b+\cos a\sin b$   d) $\cos a+\cos b$

2) $\sin(2a)$ vaut :
a) $2\sin a\cos a$   b) $\cos^2a-\sin^2a$   c) $2\cos^2a-1$   d) $\sin a+\cos a$

3) $\cos75°=\cos(45°+30°)$ vaut :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$   b) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $\dfrac12$

4) D'après la formule de linéarisation du cours, $\cos^2a$ s'écrit :
a) $\dfrac{1+\cos(2a)}2$   b) $\dfrac{1-\cos(2a)}2$   c) $1-\sin^2a$   d) $\dfrac{\cos(2a)}2$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos u=\cos v$ équivaut à :
a) $u=v+2k\pi$ ou $u=-v+2k\pi$   b) $u=v+k\pi$   c) $u=v$ uniquement   d) $u=\pi-v$

2) Dans un triangle $ABC$ ($a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2$   c) $a=b+c$   d) $a^2=b^2-c^2$

3) L'angle inscrit interceptant un arc vaut, par rapport à l'angle au centre interceptant le même arc :
a) le double   b) la moitié   c) le même angle   d) le tiers

4) L'équation $2\cos x-1=0$ admet, sur $[0;2\pi[$ :
a) $1$ solution   b) $2$ solutions   c) $3$ solutions   d) $0$ solution

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien de télécommunications installe deux antennes directionnelles sur un pylône. Dans un repère orthonormé direct lié au pylône (unité : mètre), les directions de rayonnement des deux antennes sont données par $\vec u(6;8)$ et $\vec v(-8;6)$.

Consigne : Calculer $\vec u\cdot\vec v$ et $\det(\vec u,\vec v)$, en déduire $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\vec u,\vec v)$, puis déterminer si les deux antennes rayonnent dans des directions orthogonales, comme l'exige le cahier des charges du fournisseur pour éviter les interférences.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(0;0)$, $B(6;2)$, $C(1;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés (arrondie à l'unité).

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Exercice 4 — Approfondissement

Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos^2x-\cos x-1=0$.

Problème.

Partie A. Sachant $\cos a=\dfrac7{25}$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, calculer $\sin a$, puis $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$.

Partie B. Linéariser $\cos^2x\sin^2x$ (comme l'exemple du cours), puis évaluer cette expression pour $x$ tel que $\sin(2x)=0{,}6$.

Partie C. Transformer $8\cos x+6\sin x$ en $R\cos(x-\varphi)$ et donner la valeur maximale de cette expression.

Problème.

Partie A. Résoudre sur $[0;2\pi[$ : $\sin(2x)=\sin\left(\dfrac\pi4\right)$.

Partie B. Un triangle $ABC$ a pour côtés $a=5$, $b=6$, $c=7$. 1) Calculer $\cos\widehat A$. 2) En déduire $\widehat A$ en degrés (arrondi à l'unité). 3) Calculer l'aire du triangle (arrondie au dixième).

Partie C. Dans un cercle de centre $O$, l'angle inscrit interceptant un arc $AB$ vaut $35°$. Quel est l'angle au centre interceptant le même arc ?

\(A\) et \(B\) sont deux points du plan orienté tels que \(AB=6\). Dans chaque cas, donne la nature de l'ensemble des points \(M\), distincts de \(A\) et de \(B\), qui vérifient la condition.

1) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\).

2) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\).

3) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv 0\;[2\pi]\).

4) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\pi\;[2\pi]\).

5) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv 0\;[\pi]\).

\(A\) et \(B\) sont deux points du plan orienté tels que \(AB=6\). On note \((E)\) l'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi]\), et \(\mathcal{C}\) le cercle qui le porte, de centre \(O\).

1) Calcule le rayon de \(\mathcal{C}\).

2) Montre que le triangle \(OAB\) est équilatéral, puis calcule la distance de \(O\) à la droite \((AB)\). De quel côté de \((AB)\) le point \(O\) est-il situé ?

3) Décris \((E)\) avec précision, puis calcule sa longueur (valeur exacte et valeur arrondie au centième).

4) Quelle égalité vérifient les points de l'autre arc de \(\mathcal{C}\) ? Quel est l'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{6}\;[\pi]\) ?

\(A\) et \(B\) sont deux points du plan orienté tels que \(AB=4\). On note \((E)\) l'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]\).

1) Donne la nature de \((E)\) et calcule le rayon \(R\) du cercle qui le porte (valeur exacte).

2) Précise la position du centre \(O\) de ce cercle : sa distance à la droite \((AB)\) et le côté où il se trouve.

3) Calcule la longueur de \((E)\) (valeur exacte et valeur arrondie au centième).

4) Parmi les points \(M\) de \((E)\), lequel rend l'aire du triangle \(MAB\) maximale ? Calcule cette aire maximale.