Système d’équations linéaires

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$   b) $12$   c) $-12$   d) $24$

2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) exactement deux solutions

3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;2)$   c) $(2;-3)$   d) $(-2;3)$

4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$   b) un cercle   c) deux droites parallèles   d) une parabole

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une commerçante de pagnes vend deux modèles, $A$ et $B$. Un premier client achète $3$ pagnes $A$ et $2$ pagnes $B$ pour $9\,500$ F. Un second client achète $2$ pagnes $A$ et $5$ pagnes $B$ pour $15\,500$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un pagne $A$ et $y$ le prix d'un pagne $B$, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque modèle de pagne.

Exercice supplémentaire. Un éleveur achète des sacs d'aliment pour bétail : $3$ sacs de type A et $2$ sacs de type B coûtent $25\,000$ FCFA ; $2$ sacs de type A et $4$ sacs de type B coûtent $30\,000$ FCFA.

1) Poser le système d'équations, $x$ étant le prix d'un sac A et $y$ le prix d'un sac B.
2) Résoudre ce système.
3) Calculer le coût de $5$ sacs A et $3$ sacs B.

Exercice supplémentaire. Une coopérative de Diapaga achète des kits scolaires : $\begin{cases}4x+3y=1\,900\\2x+y=800\end{cases}$ modélise le prix $x$ d'un cahier et $y$ d'un stylo (en FCFA).

1) Calculer le déterminant de ce système.
2) Résoudre le système.
3) Le système $\begin{cases}2x+3y=100\\4x+6y=250\end{cases}$ a-t-il une solution unique ? Justifier par son déterminant.

Problème. Un groupe scolaire de $40$ personnes (élèves et accompagnateurs) visite un musée. Le billet élève coûte $300$ F, le billet accompagnateur coûte $800$ F. La recette totale est de $15\,000$ F.

Partie A. 1) En notant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le nombre d'accompagnateurs, écrire le système traduisant la situation.

Partie B. 2) Résoudre ce système par substitution.

Partie C. 3) Vérifier le résultat et l'interpréter. 4) Si le groupe avait été composé uniquement d'élèves (toujours $40$ personnes), quelle aurait été la recette totale ? Comparer à la recette réelle.

Un groupement de femmes vend du jus de bissap en petites bouteilles de 0,5 L et en grandes bouteilles de 1,5 L. Un samedi, il a vendu 60 bouteilles contenant au total 50 L de jus. On note \(x\) le nombre de petites bouteilles et \(y\) le nombre de grandes bouteilles.

1) Justifie que \(x\) et \(y\) vérifient le système \(\begin{cases} x+y=60\\ 0{,}5x+1{,}5y=50\end{cases}\).

2) Calcule le déterminant de ce système et déduis-en le nombre de solutions.

3) Résous le système et interprète le résultat.

4) Une petite bouteille est vendue 250 F et une grande 600 F. Calcule la recette de la journée.

5) Quel pourcentage du volume total vendu les grandes bouteilles représentent-elles ?

On considère le système \((S)\ \begin{cases} 2x-y=3\\ x+y=3\end{cases}\) et, pour un réel \(m\), le système \((S')\ \begin{cases} 2x-y=3\\ -4x+2y=m\end{cases}\).

1) Calcule le déterminant de \((S)\). Que peux-tu en conclure ?

2) Résous \((S)\).

3) Écris chaque équation de \((S)\) sous la forme \(y=ax+b\) et interprète graphiquement la solution.

4) Calcule le déterminant de \((S')\). Interprète ce résultat à l'aide des droites associées.

5) Discute, selon les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de \((S')\).

On cherche un polynôme \(P(x)=x^2+bx+c\), où \(b\) et \(c\) sont des réels, tel que \(P(1)=0\) et \(P(2)=-2\).

1) Justifie que \(b\) et \(c\) sont solutions du système \(\begin{cases} b+c=-1\\ 2b+c=-6\end{cases}\).

2) Calcule le déterminant de ce système et conclus.

3) Résous le système et écris \(P(x)\).

4) Vérifie que 4 est aussi une racine de \(P\), puis factorise \(P(x)\).

5) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\) et résous l'inéquation \(P(x)\lt 0\).

Awa achète 3 cahiers et 2 stylos pour 1 250 F. Dans la même librairie, Issa achète 2 cahiers et 5 stylos pour 1 200 F. On note \(c\) le prix d'un cahier et \(s\) le prix d'un stylo, en francs.

1) Traduis l'énoncé par un système de deux équations.

2) Calcule le déterminant de ce système. Que peux-tu en conclure ?

3) Résous le système par la méthode des combinaisons.

4) Vérifie tes résultats dans les deux achats de l'énoncé.

5) La coopérative scolaire commande 30 cahiers et 30 stylos. La librairie accorde une réduction de 20 % sur les cahiers à partir de 10 cahiers. La coopérative dispose de 12 000 F. Ce budget est-il suffisant ? Justifie.