Seconde A · Leçon 8
Dénombrement
Ce que dit le programme officiel (15 points)
- la définition de la réunion de deux ensembles finis
- la définition de l’Intersection de deux ensembles finis
- la définition du cardinal d’un ensemble fini
- la propriété relative au cardinal de la réunion de deux ensembles finis
- la réunion de deux ensembles finis
- l’intersection de deux ensembles finis
- le cardinal d’un ensemble fini
- les éléments de A∪B, A et B étant deux ensembles finis
- les éléments de A∩B, A et B étant deux ensembles finis
- des expressions du langage courant utilisant « et », « ou », « au moins », « au plus » en langage mathématique
- un arbre de choix ;
- un tableau ;
- un diagramme ;
- la formule du cardinal de la réunion de deux ensembles finis
- Traiter une situation faisant appel au dénombrement
Source : Programme éducatif Seconde A, DPFC, version CND 0923
Cardinal d'un ensemble fini, réunion et complémentaire
Dénombrer, c'est compter les éléments d'un ensemble sans en oublier et sans en compter deux fois. Quand les éléments sont nombreux ou répartis selon plusieurs critères (fille ou garçon, sport pratiqué, choix d'un menu…), on utilise le cardinal, quelques règles simples, et des outils pour organiser les données : diagramme de Venn, tableau à double entrée, arbre de choix.
Un ensemble \(E\) est fini lorsqu'il a un nombre limité d'éléments. Ce nombre d'éléments s'appelle le cardinal de \(E\) et se note \(\operatorname{card}(E)\).
- \(\operatorname{card}(\{a\,;b\,;c\})=3\).
- \(\operatorname{card}(\varnothing)=0\), car l'ensemble vide n'a aucun élément.
- Si \(E\) est l'ensemble des jours de la semaine, \(\operatorname{card}(E)=7\).
Si \(A\subset E\), alors \(\operatorname{card}(A)\le\operatorname{card}(E)\) : une partie ne peut pas avoir plus d'éléments que l'ensemble qui la contient. Cette remarque permet souvent de détecter une erreur de calcul.
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble fini \(E\).
1) \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)\).
Justification : en additionnant \(\operatorname{card}(A)\) et \(\operatorname{card}(B)\), chaque élément commun à \(A\) et \(B\) est compté deux fois, une fois dans \(A\) et une fois dans \(B\). On retire donc une fois \(\operatorname{card}(A\cap B)\) pour que chaque élément ne soit compté qu'une seule fois.
2) Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, c'est-à-dire \(A\cap B=\varnothing\), alors \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)\).
3) \(\operatorname{card}(\overline{A})=\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(A)\), car \(A\) et \(\overline{A}\) sont disjoints et leur réunion est \(E\).
Pour traiter une situation de dénombrement :
- Nomme l'ensemble de référence \(E\) et les parties \(A\), \(B\) en disant clairement ce qu'elles contiennent, puis écris les cardinaux donnés par l'énoncé.
- Choisis l'outil adapté : un diagramme de Venn quand deux critères peuvent se chevaucher ; un tableau à double entrée quand chaque élément est classé selon deux critères, par exemple fille ou garçon et externe ou demi-pensionnaire ; un arbre de choix quand on fait plusieurs choix successifs.
- Commence par la zone commune \(A\cap B\) quand elle est connue, puis déduis les zones « seulement \(A\) », de cardinal \(\operatorname{card}(A)-\operatorname{card}(A\cap B)\), et « seulement \(B\) ».
- Utilise la formule de la réunion ou du complémentaire, puis vérifie que la somme de toutes les zones redonne \(\operatorname{card}(E)\).
Dans un arbre de choix, lorsque le nombre de branches à chaque étape ne dépend pas des choix précédents, le nombre total de possibilités est le produit des nombres de branches de chaque étape.
Pour compter les possibilités qui vérifient « au moins un … », il est souvent plus simple de compter le contraire (« aucun … ») puis de le retrancher du total, grâce à \(\operatorname{card}(\overline{A})=\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(A)\). Par exemple, parmi les \(48\) codes formés d'une lettre parmi \(3\) et de deux chiffres parmi \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), ceux qui ne contiennent aucun \(1\) ont \(3\) choix pour la lettre, puis \(3\) choix (\(2\), \(3\) ou \(4\)) pour chacun des deux chiffres, soit \(3\times3\times3=27\) codes ; ceux qui contiennent au moins un \(1\) sont donc \(48-27=21\).
Énoncé : Dans une classe de \(40\) élèves, \(25\) pratiquent le football, \(18\) pratiquent le basket et \(10\) pratiquent les deux sports. a) Combien d'élèves pratiquent au moins un des deux sports ? b) Combien n'en pratiquent aucun ? c) Combien pratiquent uniquement le football ?
Solution : Notons \(E\) la classe, \(F\) l'ensemble des footballeurs et \(B\) l'ensemble des basketteurs. On a \(\operatorname{card}(E)=40\), \(\operatorname{card}(F)=25\), \(\operatorname{card}(B)=18\) et \(\operatorname{card}(F\cap B)=10\).
a) \(\operatorname{card}(F\cup B)=25+18-10=33\) : \(33\) élèves pratiquent au moins un des deux sports.
b) Ne pratiquer aucun sport, c'est appartenir à \(\overline{F\cup B}\) : \(\operatorname{card}(\overline{F\cup B})=40-33=7\) élèves.
c) Uniquement le football : on retire de \(F\) les élèves qui font aussi du basket, soit \(25-10=15\) élèves.
Vérification : uniquement football \(15\), les deux \(10\), uniquement basket \(18-10=8\), aucun \(7\) ; on a bien \(15+10+8+7=40\).
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Voir les offresDans l'exemple 1, beaucoup d'élèves répondent que \(25+18=43\) élèves pratiquent au moins un sport. C'est impossible, puisque la classe n'a que \(40\) élèves : les \(10\) élèves qui font les deux sports ont été comptés deux fois. Il faut appliquer \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)\), et on n'additionne simplement les cardinaux que lorsque les ensembles sont disjoints.
Deuxième piège : confondre « uniquement le football » (\(15\) élèves) et « le football » (\(25\) élèves). Lis toujours l'énoncé mot à mot : « uniquement », « au moins », « aucun » ne désignent pas la même zone du diagramme.
Une fois toutes les zones calculées (seulement \(A\), seulement \(B\), les deux, aucun), additionne-les : tu dois retrouver exactement \(\operatorname{card}(E)\). Si ce n'est pas le cas, une intersection a été oubliée ou comptée deux fois. Un nombre négatif dans une zone signale aussi une erreur de lecture de l'énoncé.
Langage des ensembles (inclusion, réunion, intersection, complémentaire)
En mathématiques comme dans la vie courante, on regroupe souvent des objets qui ont une propriété commune : les élèves d'une classe, les nombres pairs inférieurs à 20, les jours de la semaine. Le langage des ensembles donne des mots et des symboles précis pour décrire ces regroupements, les comparer et les combiner. Il sert ensuite à compter sans erreur, c'est le dénombrement, et plus tard à calculer des probabilités.
Un ensemble est une collection d'objets bien déterminés, appelés ses éléments. On note souvent un ensemble par une lettre majuscule et on écrit ses éléments entre accolades : \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\).
- Si \(x\) est un élément de \(E\), on écrit \(x\in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) ») ; sinon on écrit \(x\notin E\). Ici \(4\in E\) et \(7\notin E\).
- L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté \(\varnothing\).
- On dit que \(A\) est inclus dans \(E\), et on écrit \(A\subset E\), lorsque tout élément de \(A\) est aussi un élément de \(E\). On dit alors que \(A\) est une partie, ou un sous-ensemble, de \(E\). Par exemple \(\{2\,;4\,;6\}\subset E\).
Le symbole \(\in\) relie un élément et un ensemble, alors que \(\subset\) relie deux ensembles : on écrit \(2\in E\) mais \(\{2\}\subset E\).
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\).
- L'intersection de \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\) (« \(A\) inter \(B\) »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
- La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\) (« \(A\) union \(B\) »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\), c'est-à-dire à au moins l'un des deux.
- Le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(\overline{A}\), est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\).
Lorsque \(A\cap B=\varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints : ils n'ont aucun élément commun.
Exemple de lecture : avec \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\), \(A=\{2\,;4\,;6\}\) et \(B=\{4\,;5\,;6\}\), on obtient \(A\cap B=\{4\,;6\}\), \(A\cup B=\{2\,;4\,;5\,;6\}\) et \(\overline{A}=\{1\,;3\,;5\}\).
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\) :
- \(A\cap B\subset A\) et \(A\cap B\subset B\) : ce qui est commun à \(A\) et \(B\) est dans chacun des deux.
- \(A\subset A\cup B\) et \(B\subset A\cup B\).
- \(A\cap B=B\cap A\) et \(A\cup B=B\cup A\) : l'ordre des ensembles n'a pas d'importance.
- \(A\cap\overline{A}=\varnothing\) et \(A\cup\overline{A}=E\) : un élément de \(E\) est soit dans \(A\), soit dans son complémentaire, jamais dans les deux.
- \(\overline{\overline{A}}=A\) : le complémentaire du complémentaire de \(A\) est \(A\).
Ces propriétés se voient sur un diagramme de Venn : on représente \(E\) par un rectangle, \(A\) et \(B\) par deux disques qui se chevauchent. La zone commune aux deux disques représente \(A\cap B\), l'ensemble des deux disques représente \(A\cup B\), et la partie du rectangle située hors du disque \(A\) représente \(\overline{A}\).
Pour traduire une phrase du langage courant :
- Repère l'ensemble de référence \(E\), c'est-à-dire tous les objets dont on parle, et nomme les parties utiles \(A\), \(B\) en disant précisément ce qu'elles contiennent.
- Traduis les mots clés : « et » donne une intersection \(\cap\) ; « ou » donne une réunion \(\cup\), au sens de « l'un ou l'autre ou les deux » ; « ne … pas » donne un complémentaire.
- « Au moins un des deux » correspond à \(A\cup B\) ; « aucun des deux » correspond à \(\overline{A\cup B}\) ; « un seul des deux » correspond aux éléments de \(A\cup B\) qui ne sont pas dans \(A\cap B\).
- « Au plus un des deux » signifie « zéro ou un seul », c'est-à-dire « pas les deux à la fois » : cela correspond au complémentaire de l'intersection, \(\overline{A\cap B}\). À l'inverse, « au moins un » exclut seulement le cas « aucun ».
- Contrôle ta traduction sur un diagramme de Venn en hachurant la zone obtenue.
Par exemple, dans une classe \(E\), si \(A\) est l'ensemble des élèves qui jouent au football et \(B\) celui des élèves qui jouent au basket, « les élèves qui pratiquent au moins un de ces deux sports » s'écrit \(A\cup B\), et « les élèves qui ne pratiquent aucun de ces deux sports » s'écrit \(\overline{A\cup B}\).
Énoncé : On considère \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\}\), \(A\) l'ensemble des nombres pairs de \(E\) et \(B\) l'ensemble des multiples de \(3\) de \(E\). Écris \(A\), \(B\), \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(\overline{A}\) en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de leurs éléments.
Solution : Les nombres pairs de \(E\) sont \(2\), \(4\), \(6\), \(8\) et \(10\), donc \(A=\{2\,;4\,;6\,;8\,;10\}\). Les multiples de \(3\) de \(E\) sont \(3\), \(6\) et \(9\), donc \(B=\{3\,;6\,;9\}\).
\(A\cap B\) contient les nombres à la fois pairs et multiples de \(3\) : seul \(6\) convient, donc \(A\cap B=\{6\}\).
\(A\cup B\) contient les nombres pairs ou multiples de \(3\) : on réunit les deux listes sans écrire deux fois \(6\), donc \(A\cup B=\{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\}\).
\(\overline{A}\) contient les éléments de \(E\) qui ne sont pas pairs : \(\overline{A}=\{1\,;3\,;5\,;7\,;9\}\).
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Voir les offresDans la vie courante, « fromage ou dessert » signifie souvent « l'un ou l'autre, mais pas les deux ». En mathématiques, le « ou » est inclusif : un élément de \(A\cup B\) peut appartenir aux deux ensembles à la fois.
Contre-exemple : avec \(A=\{2\,;4\,;6\}\) et \(B=\{4\,;5\,;6\}\), certains élèves écrivent \(A\cup B=\{2\,;5\}\) en retirant les éléments communs. C'est faux : \(4\) et \(6\) appartiennent à \(A\), donc ils appartiennent à \(A\cup B\). La bonne réponse est \(A\cup B=\{2\,;4\,;5\,;6\}\). L'ensemble \(\{2\,;5\}\) correspond à « un seul des deux », ce qui est une autre question.
Autre erreur fréquente : écrire \(2\subset A\) au lieu de \(2\in A\). Un nombre est un élément, pas un ensemble ; en revanche on peut écrire \(\{2\}\subset A\).
Avant de répondre, dessine un diagramme de Venn, même rapide, et place chaque élément dans la bonne zone : dans les deux ensembles, seulement dans \(A\), seulement dans \(B\), ou hors des deux. Chaque question revient alors à lire une ou plusieurs zones du dessin. Tu évites ainsi d'oublier un élément ou de l'écrire deux fois, et tu peux vérifier que toutes les zones réunies redonnent bien l'ensemble \(E\).