Seconde A · Leçon 6

Études de fonctions élémentaires

Ce que dit le programme officiel (14 points)

Exemple de situation d’apprentissage
Le professeur de mathématique d’une classe de seconde A, a représenté les moyennes des 6 premières notes de chaque élève sous forme graphique. Il a commenté ce graphique en montrant les variations du travail de la classe.
Intéressés par ce type de présentation, les élèves décident d’apprendre à étudier les variations de fonctions élémentaires et à les représenter.
la définition d’une fonction linéaire
la définition d’une fonction affine
la définition d’une fonction affine par intervalles
l’ensemble de définition des fonctions linéaires
l’ensemble de définition des fonctions affines
l’ensemble de définition des fonctions : 𝑥 ↦ 𝑥², 𝑥 ↦ 1/𝑥
le sens de variation d’une fonction affine
le sens de variation des fonctions : 𝑥 ↦ 𝑥², 𝑥 ↦ 1/𝑥
le tableau de variation d’une fonction définie par une formule explicite au programme
Représenter graphiquement une fonction au programme sur un intervalle fermé borné ou une réunion d’intervalles fermés bornés
Traiter une situation faisant appel aux études de fonctions au programme

Source : Programme éducatif Seconde A, DPFC, version CND 0923

Lecture graphique et représentations d'une fonction

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Une fonction peut être donnée de plusieurs façons

Tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.

Méthode — Lire et interpréter un graphique réel

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Vocabulaire : variations et parité

Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.

Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).

Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.

Fonction affine et fonctions affines par intervalle

Fonction affine \(x \mapsto ax+b\)

Sa courbe est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\). Si \(a>0\) : croissante sur \(\mathbb R\). Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante.

Pour tracer la droite connaissant un point \(A(x_0;y_0)\) et le coefficient directeur \(a\) : partir de \(A\), avancer de \(1\) en abscisse et de \(a\) en ordonnée pour obtenir un second point.

Fonction carré \(x \mapsto x^2\)

Courbe en forme de parabole, minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.

Définition — Fonction affine par intervalle

Une fonction est affine par intervalle si son ensemble de définition se découpe en plusieurs intervalles sur chacun desquels elle est affine (mais pas nécessairement avec les mêmes coefficients \(a\) et \(b\) d'un intervalle à l'autre). Sa courbe est une ligne brisée.

Méthode — Tarification par tranches (situation réelle)

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Figure — Facture d'eau selon la consommation

La pente change à x = 10 : c'est le point de cassure de la fonction affine par intervalle.