Seconde A · Leçon 3

Équations et inéquations dans ℝ

Ce que dit le programme officiel (14 points)

Déterminer - le signe de ax+b suivant les valeurs de x ;
le signe de (ax+b)(cx +d) suivant les valeurs de x (a 0, c0).
Résoudre - des équations du type ax +b = 0
des équations du type (ax+b)(cx+d) = 0
des inéquations du type : ax +b ≥ 0 ou ax+b ≤ 0 ou ax +b > 0 ou ax+b < 0
des inéquations du type (ax+b)(cx+d) ≥ 0 ou (ax+b)(cx+d) ≤ 0 ou (ax+b)(cx+d) > 0 ou (ax+b)(cx+d) < 0
Ecrire - l’ensemble des solutions d’une inéquation sous forme d’intervalle ou d’une réunion d’intervalles.
Traduire - des inégalités à l’aide d’intervalle
un intervalle à l’aide d’inégalité (s)
un problème de vie courante par une équation ou une inéquation de l’un des types ci-dessus
Représenter - un intervalle sur une droite graduée
la réunion de deux intervalles sur une droite graduée
l’intersection de deux intervalles sur une droite graduée
Traiter une situation faisant appel aux équations et aux inéquations de types ci-dessus

Source : Programme éducatif Seconde A, DPFC, version CND 0923

Signe d'un produit ou d'un quotient, tableau de signes

Signe du trinôme

Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Signe d'un produit, résolution d'une inéquation

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Exemple — Problème concret

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -1 \(c\) = -6

Équations et inéquations du premier degré

Comportement de l'ordre vis-à-vis des opérations

L'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.

Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.

Méthode — Résoudre une inéquation du premier degré

Résoudre \(-2x+5 \le 11\).

\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).

Exemples gradués

Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).

Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.

Figure interactive — Fonction de proportionnalité

\(a\) = 2

La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).

Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)

Identités remarquables \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Les identités du troisième degré ne sont pas au programme.

Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.

Théorème — Racine et factorisation (admis)

Soit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un réel. On admet :

\[ P(a)=0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x)=(x-a)Q(x). \]

Méthode — Coefficients indéterminés (exemple du programme)

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Intervalles, valeur absolue et distance

Définition — Valeur absolue

Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue \(|x|\) vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Sur la droite numérique, \(|x|\) est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine ; plus généralement, \(|b-a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\).

Méthode — Exprimer \(|ax+b|\) sans le symbole

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Résoudre équations et inéquations avec valeur absolue

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Figure interactive — |x - a| ≤ r

\(x\) = 4

Le point est vert si |x-3| ≤ 5, rouge sinon.

Mise en équations d'un problème (systèmes)

Interprétation graphique

Chaque équation représente une droite. La solution du système est le point d'intersection des deux droites — lisible directement sur un graphique bien construit, méthode particulièrement utile pour vérifier un résultat trouvé par le calcul.

Méthode — Mettre un problème en équations

Deux articles A et B. Trois articles A et deux articles B coûtent \(2\,900\) F ; un article A et quatre articles B coûtent \(2\,700\) F. Prix de chaque article ?

Notons \(x\) le prix de A, \(y\) le prix de B :

\[ \begin{cases} 3x+2y=2\,900 \\ x+4y=2\,700 \end{cases} \]

De la seconde équation : \(x=2\,700-4y\). En substituant dans la première : \(3(2\,700-4y)+2y=2\,900\), soit \(8\,100-12y+2y=2\,900\), donc \(-10y=-5\,200\), \(y=520\). Puis \(x=2\,700-2\,080=620\).

L'article A coûte \(620\) F, l'article B coûte \(520\) F.

Figure — Intersection de deux droites

Le point d'intersection donne la solution du système \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).