Seconde A · Leçon 1

Calcul numérique

Ce que dit le programme officiel (20 points)

Simplifier - un quotient
Additionner - des quotients
Multiplier - des quotients
Diviser - des quotients
Ecrire - un quotient sans le symbole « radical » au dénominateur
Traduire - une situation de proportionnalité par un tableau
un pourcentage en fraction décimale
un pourcentage en nombre décimal
Compléter - un tableau de proportionnalité
Trouver - une approximation décimale d’ordre n par excès ou par défaut d’un nombre réel
l’arrondi d’ordre n d’un nombre réel
Calculer - en utilisant les règles sur les puissances ;
avec des radicaux ;
un coefficient de proportionnalité à l’aide d’un tableau de proportionnalité ;
un pourcentage ;
p% d’une quantité donnée où p est un nombre réel positif donné ;
le pourcentage d’une augmentation ou d’une réduction ;
la quantité obtenue après une augmentation ou une réduction de p% où p est un nombre réel positif donné ;
un pourcentage de pourcentage.
Traiter une situation faisant appel aux calculs numériques

Source : Programme éducatif Seconde A, DPFC, version CND 0923

Fractions rationnelles : décomposition, simplification

Une fraction rationnelle est une expression de la forme « polynôme sur polynôme ». Tu en rencontres dès qu’une inconnue apparaît au dénominateur, par exemple dans des calculs algébriques, des études de signe ou des fonctions homographiques. Savoir la simplifier et la décomposer permet de mieux voir son domaine de définition, ses zéros, son signe et, plus tard, d’étudier plus facilement la fonction qu’elle définit.

Définitions : fraction rationnelle, domaine, simplification, décomposition

Soient deux polynômes A et B, avec B non nul. On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\). Elle définit une fonction pour toutes les valeurs de \(x\) qui ne rendent pas le dénominateur nul.

Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels \(x\) tels que \(B(x)\neq 0\). On le note souvent \(D\) ou \(D_f\). Trouver ce domaine est la première chose à faire, car une valeur qui annule le dénominateur est interdite.

Simplifier une fraction rationnelle, c’est factoriser le numérateur et le dénominateur, puis supprimer un facteur commun non nul. Par exemple, si \(A(x)=C(x)D(x)\) et \(B(x)=C(x)E(x)\), alors, pour les valeurs de \(x\) telles que \(C(x)\neq 0\), on a \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{D(x)}{E(x)}\). Il faut donc toujours garder en mémoire les valeurs interdites de l’expression de départ.

Décomposer une fraction rationnelle, c’est la réécrire sous une forme plus simple à utiliser. Selon les cas, on peut la décomposer en une somme, en une différence, ou en une partie entière plus une fraction plus simple. Par exemple, \(\dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\), car \(x+3=(x-1)+4\). Cette nouvelle écriture donne la même valeur que l’ancienne pour tout \(x\neq 1\), mais elle est souvent plus pratique pour calculer, comparer ou étudier le signe.

Propriétés utiles pour simplifier et décomposer

1) Condition de définition. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), seules les valeurs qui vérifient \(B(x)\neq 0\) sont autorisées. Si le dénominateur se factorise, les valeurs interdites se lisent directement sur les facteurs. Par exemple, pour \(\dfrac{2x+1}{(x-3)(x+2)}\), on doit avoir \(x\neq 3\) et \(x\neq -2\).

2) Simplification par facteur commun. On peut simplifier seulement des facteurs, jamais des termes d’une somme. Ainsi, \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\). En revanche, \(\dfrac{x+2}{x}\) ne se simplifie pas, car \(x+2\) n’est pas un facteur de \(x\).

3) Décomposition en une partie simple. Quand le numérateur ressemble au dénominateur, on peut écrire le numérateur comme « dénominateur + reste ». Par exemple, \(2x+3=2(x-1)+5\), donc \(\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\), pour \(x\neq 1\). Cette écriture est très utile pour des calculs mentaux et pour reconnaître une fonction homographique.

Méthode

Pour simplifier une fraction rationnelle :

Détermine d’abord les valeurs interdites en résolvant \(B(x)=0\).
Factorise complètement le numérateur et le dénominateur dès que c’est possible : identité remarquable, mise en facteur, trinôme, etc.
Repère les facteurs communs et simplifie seulement ces facteurs.
Réécris le résultat sous forme simple, mais conserve les valeurs interdites de l’expression de départ.

Pour décomposer une fraction rationnelle simple :

Si le numérateur peut s’écrire « multiple du dénominateur + reste », fais-le. Exemple : \(3x+7=3(x-2)+13\).
Sépare ensuite la fraction en deux : \(\dfrac{3x+7}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{13}{x-2}=3+\dfrac{13}{x-2}\), pour \(x\neq 2\).
Vérifie en remettant au même dénominateur : \(3(x-2)+13=3x+7\).

Dans tous les cas, commence toujours par le domaine de définition : c’est une habitude indispensable.

Exemple 1 : simplifier une fraction rationnelle

Énoncé : Simplifie \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}\) et précise les valeurs interdites.

Solution : On commence par le domaine de définition. Le dénominateur vaut \(x^2-3x+2\). On le factorise :

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]

Donc l’expression n’est définie que pour \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).

On factorise ensuite le numérateur :

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]

La fraction devient alors

\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}.\]

On simplifie par le facteur commun \((x-2)\), ce qui est autorisé seulement si \(x\neq 2\), ce qui fait déjà partie des valeurs interdites :

\[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-3}{x-1}.\]

Finalement,

\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{x-3}{x-1}\quad \text{pour } x\neq 1 \text{ et } x\neq 2.\]

Attention : la forme simplifiée ne doit pas faire oublier que \(x=2\) reste interdit. En effet, dans l’expression de départ, si \(x=2\), le dénominateur vaut \(0\), donc la fraction n’existe pas.

Exemple 2 : décomposer en « partie entière + fraction »

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Exemple 3 : décomposer sur deux facteurs du premier degré

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Pièges et erreurs fréquentes

Piège 1 : simplifier des termes au lieu de simplifier des facteurs. Par exemple, certains écrivent à tort \(\dfrac{x+2}{x}=2\). C’est faux. On ne peut pas « barrer » le \(x\) dans une somme. La bonne écriture est \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\), pour \(x\neq 0\). Vérification avec \(x=2\) : à gauche, \(\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\), tandis que si on avait simplifié abusivement on obtiendrait toujours \(2\), ce qui ne marche plus pour \(x=4\), car \(\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\neq 2\).

Piège 2 : oublier les valeurs interdites après simplification. On a \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), mais seulement pour \(x\neq 1\). Il serait faux d’affirmer que la fraction vaut \(2\) pour \(x=1\), car l’expression de départ n’existe pas en \(x=1\). La simplification donne une écriture équivalente sur le domaine initial, elle ne crée pas de nouvelle valeur autorisée.

Astuce utile

Pour décomposer une fraction du type \(\dfrac{ax+b}{x-c}\), fais apparaître le dénominateur dans le numérateur : \(ax+b=a(x-c)+(b+ac)\). Par exemple, \(4x+1=4(x-3)+13\), donc \(\dfrac{4x+1}{x-3}=4+\dfrac{13}{x-3}\) pour \(x\neq 3\). Autre bon réflexe : écris dès la première ligne les valeurs interdites. Ainsi, même si tu simplifies ensuite la fraction, tu ne perdras pas les conditions de définition. Ce réflexe évite une grande partie des erreurs dans les exercices de fonctions rationnelles.

Proportionnalité et pourcentages

Définition — Situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un réel \(a\) (le coefficient de proportionnalité) tel que la seconde s'obtienne toujours en multipliant la première par \(a\) : c'est la fonction \(x \mapsto ax\), dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.

Méthode — Reconnaître et utiliser un pourcentage

Un pourcentage \(t\,\%\) correspond au coefficient de proportionnalité \(\dfrac{t}{100}\). Augmenter une quantité de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).

Exemple. Un article à \(8\,000\) F subit une remise de \(15\,\%\). Nouveau prix : \(8\,000\times(1-0{,}15) = 8\,000\times0{,}85 = 6\,800\) F.

Encadrements et valeurs approchées

Vocabulaire

Une valeur approchée de \(x\) à une précision \(10^{-n}\) est un réel \(a\) tel que \(|x-a|\le10^{-n}\). La valeur approchée par défaut est inférieure ou égale à \(x\) ; par excès, supérieure ou égale.

Méthode — Encadrer une somme, un produit

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Ordre de grandeur

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