Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

Le niveau d'eau d'un barrage, en mètres, est modélisé par une fonction \(f\) du mois \(x\), pour \(x\) allant de 0 (début janvier) à 12 (fin décembre). Sa courbe est la ligne brisée qui joint les points \(A(0;8)\), \(B(3;5)\), \(C(7;13)\) et \(D(12;9)\). On admet que \(f(x)=8-x\) sur \([0;3]\), \(f(x)=2x-1\) sur \([3;7]\) et \(f(x)=-0{,}8x+18{,}6\) sur \([7;12]\).

1) Donne l'ensemble de définition de \(f\), puis calcule \(f(0)\), \(f(3)\), \(f(5)\), \(f(7)\) et \(f(12)\). Interprète \(f(5)\).

2) Dresse le tableau de variation de \(f\).

3) Détermine le maximum et le minimum de \(f\) sur \([0;12]\) et les mois où ils sont atteints. Justifie.

4) Détermine les antécédents de 9 par \(f\).

5) Pour irriguer les champs, il faut au moins 9 m d'eau. Résous l'inéquation \(f(x)\ge 9\) et interprète le résultat.

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-4;2]\) par \(f(x)=(x-1)(x+3)\).

1) Recopie et complète le tableau de valeurs de \(f\) pour \(x=-4\), \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) et \(2\).

2) Développe \(f(x)\), puis vérifie avec cette nouvelle écriture la valeur de \(f(-1)\) trouvée à la question 1.

3) Détermine par le calcul les antécédents de 0 par \(f\).

4) Détermine par le calcul les antécédents de \(-3\) par \(f\). Justifie le choix de l'écriture utilisée.

5) On admet que \(f\) est décroissante sur \([-4;-1]\) et croissante sur \([-1;2]\). Dresse le tableau de variation de \(f\), puis donne son minimum et son maximum sur \([-4;2]\).

On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\frac{2x+1}{x-3}\).

1) Explique pourquoi on ne peut pas calculer \(g(3)\), puis donne l'ensemble de définition de \(g\) sous forme d'une réunion d'intervalles.

2) Calcule \(g(0)\), \(g(4)\) et \(g\left(-\frac{1}{2}\right)\).

3) Détermine l'antécédent de 3 par \(g\), puis vérifie ton résultat.

4) Montre que le nombre 2 n'a pas d'antécédent par \(g\). Interprète ce résultat sur la courbe de \(g\).

5) Les points \(M(5;5{,}5)\) et \(N(1;-1)\) appartiennent-ils à la courbe de \(g\) ? Justifie.

Un organisateur de concerts a constaté que le nombre de spectateurs dépend du prix \(x\) du billet (en francs) : on admet que ce nombre est donné par \(N(x)=ax+b\). Avec un billet à 500 F, il y a eu 800 spectateurs ; avec un billet à 1 500 F, il y en a eu 400. Le prix est choisi dans l'intervalle \([500;2\,000]\).

1) Justifie que \(a\) et \(b\) vérifient le système \(500a+b=800\) et \(1\,500a+b=400\), puis résous-le.

2) La recette est \(R(x)=x\times N(x)\). Calcule \(R(500)\), \(R(1\,000)\), \(R(1\,250)\), \(R(1\,500)\) et \(R(2\,000)\).

3) On admet que \(R\) est croissante sur \([500;1\,250]\) et décroissante sur \([1\,250;2\,000]\). Dresse son tableau de variation.

4) Quel prix donne la recette maximale ? Donne cette recette et le nombre de spectateurs correspondant.

5) L'organisateur veut une recette d'au moins 600 000 F. Détermine les prix possibles et justifie à l'aide des variations.