Études de fonctions élémentaires

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire   b) impaire   c) ni paire ni impaire   d) périodique

2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$   b) $[0;+\infty[$   c) $\mathbb{R}^*$   d) $]-\infty;0]$

3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$   b) croissante sur $\mathbb{R}$   c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement   d) ni croissante ni décroissante

4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite   b) une translation de $5$ vers la gauche   c) une dilatation de rapport $5$   d) une symétrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une fonction affine $x\mapsto ax+b$ est décroissante sur $\mathbb R$ si :
a) $a<0$   b) $a>0$   c) $a=0$   d) $b<0$

2) La fonction carré $x\mapsto x^2$ est :
a) paire, décroissante sur $\,]-\infty;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$   b) impaire   c) toujours croissante   d) constante

3) Pour $f(x)=2x-3$, l'image de $4$, $f(4)$, vaut :
a) $5$   b) $8$   c) $-1$   d) $11$

4) Pour une fonction affine par intervalle représentée par une ligne brisée, un « point de cassure » correspond à :
a) un changement de coefficient directeur entre deux tronçons   b) une valeur interdite   c) un maximum global   d) l'ordonnée à l'origine

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.

Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?

Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).

1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

La société d'électricité facture $80$ F le kWh pour les $50$ premiers kWh consommés dans le mois, puis $120$ F le kWh au-delà. Soit $f(x)$ le montant facturé (en F) pour une consommation de $x$ kWh.

Consigne : Exprimer $f(x)$ pour $0\le x\le50$, puis pour $x>50$. Calculer la facture pour une consommation de $75$ kWh. Un ménage dispose d'un budget de $8\,000$ F pour l'électricité du mois : déterminer, en nombre entier de kWh, la consommation maximale qu'il peut se permettre.

Exercice supplémentaire. La distribution d'eau facture selon un tarif progressif : $300$ FCFA/m³ pour les $10$ premiers m³, puis $450$ FCFA/m³ au-delà. Soit $F(x)$ le montant (en FCFA) pour une consommation de $x$ m³.

1) Exprimer $F(x)$ pour $0\le x\le10$.
2) Exprimer $F(x)$ pour $x>10$.
3) Calculer $F(15)$ et le prix moyen par m³ pour cette consommation.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.

Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.

Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.

Problème. Une société de location de vélos facture un forfait de $1\,000$ F pour les $3$ premières heures d'utilisation (heures incluses dans le forfait), puis $200$ F par heure supplémentaire au-delà. Soit $g(x)$ le prix (en F) pour $x$ heures d'utilisation, $x\ge0$.

Partie A. 1) Exprimer $g(x)$ pour $0\le x\le3$, puis pour $x>3$. 2) Calculer $g(2)$ et $g(5)$.

Partie B. 3) Un client paie $1\,800$ F pour une utilisation de plus de $3$ heures. Déterminer le nombre d'heures $x$ qu'il a utilisé le vélo.

Partie C. 4) $g$ est-elle une fonction affine par intervalle ? Justifier et donner le coefficient directeur de chaque tronçon.

Un transporteur livre des sacs de ciment. Le prix \(f(x)\), en francs, d'une livraison dépend de la distance \(x\) parcourue, en km, avec \(0\le x\le 50\) :

si \(0\le x\le 10\), le prix est un forfait de 2 000 F ;
si \(10\lt x\le 30\), \(f(x)=2000+150(x-10)\) ;
si \(30\lt x\le 50\), \(f(x)=5000+100(x-30)\).

1) Calcule le prix d'une livraison à 6 km, à 20 km et à 40 km.

2) Écris \(f(x)\) sous la forme \(ax+b\) sur chacun des intervalles \(]10;30]\) et \(]30;50]\).

3) Donne le sens de variation de \(f\) sur chacun des trois intervalles, en justifiant, puis dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0;50]\). Donne le minimum et le maximum de \(f\).

4) Représente graphiquement \(f\) en précisant les points à placer (1 cm pour 5 km et 1 cm pour 1 000 F).

5) Un client a payé 4 400 F. Détermine la distance parcourue, en justifiant l'intervalle choisi.

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-3;2]\) par \(f(x)=x^2\), et la fonction \(g\) définie sur \([1;4]\) par \(g(x)=\frac{8}{x}\).

1) Recopie et complète le tableau de valeurs de \(f\) pour \(x\) égal à \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1 et 2.

2) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([-3;2]\). Donne son minimum et son maximum, et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints.

3) Un élève affirme : « si \(x\) est dans \([-1;2]\), alors \(x^2\) est dans \([1;4]\) ». Explique son erreur et donne le bon intervalle.

4) Calcule \(g(1)\), \(g(2)\) et \(g(4)\). Justifie le sens de variation de \(g\) sur \([1;4]\) et dresse son tableau de variation.

5) Sur \([1;2]\), justifie que \(f(x)\le 4\le g(x)\). Déduis-en que les courbes de \(f\) et de \(g\) ont un seul point commun sur \([1;2]\), et donne ses coordonnées.

On cherche la fonction affine \(u\) définie par \(u(x)=ax+b\) dont la représentation graphique passe par les points \(A(-1;5)\) et \(B(3;-3)\).

1) Écris le système d'équations vérifié par \(a\) et \(b\), puis résous-le.

2) Donne le sens de variation de \(u\) en justifiant.

3) On définit la fonction \(h\) sur \([-2;4]\) par \(h(x)=u(x)\) si \(-2\le x\le 1\) et \(h(x)=x\) si \(1\lt x\le 4\). Vérifie que les deux expressions donnent la même valeur en 1, puis dresse le tableau de variation de \(h\).

4) Donne le minimum et le maximum de \(h\) sur \([-2;4]\) et représente \(h\).

5) Résous l'équation \(h(x)=3\), puis l'inéquation \(h(x)\le 3\). Interprète graphiquement.