Équations et inéquations dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$   b) $10$ et $2$   c) $-10$ et $2$   d) $6$ et $-6$

2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$   b) $[-4;5]$   c) $[-9;9]$   d) $[-10;8]$

3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$   b) $[4{,}3;4{,}7]$   c) $[3{,}1;3{,}2]$   d) $[1{,}4;1{,}5]$

4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$   b) $[-2;8]$   c) $\,]8;+\infty[$   d) $\,]-\infty;-2[$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un menuisier fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.

Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.

Exercice supplémentaire. Un pisciculteur doit maintenir la température de son bassin à $26°C$ à $\pm1{,}5°C$ près.

1) Écrire cette contrainte avec une valeur absolue, $x$ désignant la température.
2) Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des températures acceptables.
3) Si de plus le taux d'oxygène $y$ vérifie $5\le y\le8$ (mg/L), encadrer $x+y$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un agriculteur dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire pour ses volailles, adossé à un mur déjà existant (seuls les trois autres côtés doivent être clôturés : deux largeurs et une longueur). Il note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres.

Consigne : Exprimer la longueur de l'enclos en fonction de $x$, puis son aire $A(x)$. Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de l'enclos dépasse strictement $150$ m², en tenant compte des contraintes physiques du problème ($x>0$ et longueur $>0$).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une commerçante de pagnes vend deux modèles, $A$ et $B$. Un premier client achète $3$ pagnes $A$ et $2$ pagnes $B$ pour $9\,500$ F. Un second client achète $2$ pagnes $A$ et $5$ pagnes $B$ pour $15\,500$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un pagne $A$ et $y$ le prix d'un pagne $B$, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque modèle de pagne.

Exercice supplémentaire. Un éleveur achète des sacs d'aliment pour bétail : $3$ sacs de type A et $2$ sacs de type B coûtent $25\,000$ FCFA ; $2$ sacs de type A et $4$ sacs de type B coûtent $30\,000$ FCFA.

1) Poser le système d'équations, $x$ étant le prix d'un sac A et $y$ le prix d'un sac B.
2) Résoudre ce système.
3) Calculer le coût de $5$ sacs A et $3$ sacs B.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

Problème. Un groupe scolaire de $40$ personnes (élèves et accompagnateurs) visite un musée. Le billet élève coûte $300$ F, le billet accompagnateur coûte $800$ F. La recette totale est de $15\,000$ F.

Partie A. 1) En notant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le nombre d'accompagnateurs, écrire le système traduisant la situation.

Partie B. 2) Résoudre ce système par substitution.

Partie C. 3) Vérifier le résultat et l'interpréter. 4) Si le groupe avait été composé uniquement d'élèves (toujours $40$ personnes), quelle aurait été la recette totale ? Comparer à la recette réelle.

Un opérateur propose deux offres d'appels. Offre A : 50 F par minute d'appel. Offre B : un abonnement de 2 000 F par mois, plus 30 F par minute. On note \(x\) le nombre de minutes d'appel dans le mois (\(x\ge 0\)).

1) Calcule le prix payé avec chaque offre pour 60 minutes d'appel.

2) Exprime en fonction de \(x\) le prix \(A(x)\) payé avec l'offre A et le prix \(B(x)\) payé avec l'offre B.

3) Résous l'équation \(A(x)=B(x)\) et interprète la solution.

4) Résous l'inéquation \(B(x)\lt A(x)\). Écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et représente-le sur une droite graduée.

5) Une étudiante dispose de 6 500 F par mois pour ses appels. Détermine, pour chaque offre, le nombre maximal de minutes qu'elle peut appeler. Quelle offre lui conseilles-tu ? Justifie.

On considère l'expression \(E(x)=(x-3)(x+2)-(x-3)(3x-2)\), où \(x\) est un nombre réel.

1) Factorise \(E(x)\) sous la forme \((x-3)(ax+b)\).

2) Résous l'équation \(E(x)=0\).

3) Dresse le tableau de signes de \(E(x)\).

4) Déduis-en l'ensemble des solutions de l'inéquation \(E(x)\gt 0\), puis celui de l'inéquation \(E(x)\le 0\), sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

5) Vérifie ton résultat en calculant \(E(2{,}5)\) avec l'expression de départ, puis \(E(0)\) avec la forme factorisée. Justifie que ces deux calculs sont en accord avec la question 4.

Une potière fabrique et vend \(x\) pots par semaine, avec \(0\le x\le 100\). Son bénéfice hebdomadaire, en centaines de francs, est donné par \(B(x)=(x-20)(80-x)\). Un bénéfice négatif signifie une perte.

1) Calcule \(B(10)\) et \(B(50)\), puis interprète ces résultats.

2) Résous l'équation \(B(x)=0\).

3) Dresse le tableau de signes de \(B(x)\) sur \([0;100]\).

4) Résous l'inéquation \(B(x)\gt 0\) et interprète le résultat pour la potière.

5) Son four l'oblige à produire entre 70 et 90 pots par semaine. Traduis cette contrainte par un intervalle, puis détermine les productions possibles pour lesquelles elle ne perd pas d'argent.

On définit trois ensembles de nombres réels : \(I\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(-2\le 3x+4\le 10\) ; \(J\) est l'ensemble des solutions de l'inéquation \(5-2x\lt 1\) ; \(K\) est l'ensemble des \(x\) dont la distance à 1 est inférieure ou égale à 3, c'est-à-dire tels que \(|x-1|\le 3\).

1) Résous la double inéquation \(-2\le 3x+4\le 10\) et écris \(I\) sous forme d'intervalle.

2) Résous l'inéquation \(5-2x\lt 1\) et écris \(J\) sous forme d'intervalle.

3) Détermine \(I\cap J\) et \(I\cup J\). Justifie à l'aide d'une droite graduée.

4) Écris \(K\) sous forme d'intervalle, puis détermine \(K\cap J\).

5) Donne la liste des nombres entiers qui appartiennent à \(K\cap J\).