Dénombrement

On considère l'ensemble \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\,;11\,;12\}\). On note \(A\) l'ensemble des multiples de \(2\) de \(E\) et \(B\) l'ensemble des multiples de \(3\) de \(E\).

1) Écris \(A\) et \(B\) en extension et donne leurs cardinaux.

2) Détermine \(A\cap B\) et \(A\cup B\).

3) Vérifie la formule \(\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)\).

4) Combien d'éléments de \(E\) ne sont ni multiples de \(2\) ni multiples de \(3\) ? Donne-les.

Dans une classe \(E\) de \(36\) élèves, on note \(F\) l'ensemble des filles et \(S\) l'ensemble des élèves qui pratiquent un sport. La classe compte \(20\) filles, \(22\) élèves sportifs, et \(12\) filles sont sportives.

1) Écris avec des symboles : a) les filles sportives ; b) les élèves qui ne pratiquent pas de sport ; c) les garçons sportifs.

2) Combien y a-t-il de garçons sportifs ?

3) Combien d'élèves sont des filles ou des sportifs ?

4) Combien d'élèves sont des garçons qui ne pratiquent aucun sport ?

Un club de lecture compte \(150\) membres, dont \(90\) femmes. \(60\) membres lisent surtout des romans policiers, et parmi eux \(35\) sont des femmes. Les autres membres lisent surtout d'autres genres.

1) Recopie et complète le tableau des effectifs (lignes : femmes, hommes, total ; colonnes : romans policiers, autres genres, total).

2) Combien de membres sont des femmes ou des lecteurs de romans policiers ?

3) Combien de membres ne sont ni des femmes ni des lecteurs de romans policiers ? Retrouve ce nombre dans le tableau.

Un code d'accès est formé d'une lettre choisie parmi \(A\), \(B\), \(C\), suivie de deux chiffres choisis parmi \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Un même chiffre peut être utilisé deux fois (par exemple \(B33\)).

1) À l'aide d'un arbre de choix, justifie qu'il existe \(48\) codes.

2) Combien de codes ont deux chiffres différents ?

3) Combien de codes commencent par \(A\) et ont deux chiffres identiques ?

4) Combien de codes contiennent au moins une fois le chiffre \(1\) ?

Une association interroge 200 habitants d'un quartier sur leurs sources d'information. On note \(R\) l'ensemble des personnes qui écoutent la radio et \(T\) l'ensemble de celles qui regardent la télévision. On sait que \(\text{card}(R)=120\), \(\text{card}(T)=90\) et que 50 personnes utilisent les deux.

1) Traduis par une écriture d'ensembles « écouter la radio et regarder la télévision », puis « utiliser au moins l'une des deux sources ». Calcule le cardinal de ce second ensemble.

2) Combien de personnes n'utilisent ni la radio ni la télévision ? Écris cet ensemble à l'aide d'un complémentaire.

3) Combien de personnes écoutent seulement la radio ? regardent seulement la télévision ? Représente la situation par un diagramme en y plaçant les quatre effectifs.

4) Combien de personnes utilisent exactement une des deux sources ? au plus une des deux sources ?

5) On considère la série statistique formée des quatre catégories : « radio seulement », « télévision seulement », « les deux », « aucune ». Calcule la fréquence de chaque catégorie en pourcentage, puis l'angle de chaque secteur d'un diagramme circulaire.

On considère l'ensemble \(E\) des entiers de 1 à 20. On note \(A\) l'ensemble des nombres premiers de \(E\), \(B\) l'ensemble des nombres impairs de \(E\) et \(C\) l'ensemble des carrés parfaits de \(E\) (nombres de la forme \(n^2\) avec \(n\) entier).

1) Écris les éléments de \(A\) et de \(B\) et donne leurs cardinaux.

2) Détermine \(A\cap B\). L'ensemble \(A\) est-il inclus dans \(B\) ? Justifie. Calcule \(\text{card}(A\cup B)\) à l'aide de la formule, puis vérifie en écrivant \(A\cup B\).

3) Détermine le complémentaire de \(A\cup B\) dans \(E\) et décris ses éléments par une phrase.

4) Écris les éléments de \(C\). Détermine \(A\cap C\), puis \(\text{card}(A\cup C)\). Explique pourquoi, ici, le cardinal de la réunion est la somme des cardinaux.

5) Combien d'éléments de \(E\) appartiennent à au plus un des deux ensembles \(A\) et \(B\) ? Justifie à l'aide d'un complémentaire.

Pour une sortie, un élève choisit une chemise parmi trois (blanche, bleue, kaki) et un pantalon parmi deux (noir, bleu). Une tenue est formée d'une chemise et d'un pantalon.

1) Construis un arbre de choix et écris toutes les tenues possibles. Combien y en a-t-il ?

2) On note \(A\) l'ensemble des tenues dont la chemise est bleue et \(B\) l'ensemble des tenues dont le pantalon est bleu. Donne \(\text{card}(A)\), \(\text{card}(B)\) et \(\text{card}(A\cap B)\), puis calcule le nombre de tenues comportant au moins une pièce bleue.

3) Traduis « la tenue ne comporte aucune pièce bleue » à l'aide d'un complémentaire, puis donne le nombre et la liste de ces tenues.

4) L'élève ajoute le choix des chaussures : sandales ou baskets. Combien de tenues complètes (chemise, pantalon, chaussures) peut-il former ? Combien comportent au moins une pièce bleue parmi la chemise et le pantalon ?

5) Il veut porter chaque jour une tenue complète différente, sans aucune pièce bleue. Pendant combien de jours au plus peut-il le faire ? Justifie.

Dans un lycée, on interroge les 80 élèves de seconde A. Il y a 35 filles. 30 élèves viennent au lycée à vélo, dont 12 filles. On note \(F\) l'ensemble des filles et \(V\) l'ensemble des élèves qui viennent à vélo.

1) Recopie et complète le tableau à double entrée suivant.

2) Traduis « les filles qui viennent à vélo » et « les élèves qui sont des filles ou qui viennent à vélo » en langage des ensembles, puis donne leurs cardinaux.

3) Décris par une phrase le complémentaire de \(F\cup V\). Calcule son cardinal de deux façons.

4) Calcule, en pourcentage, la part des garçons qui viennent à vélo, puis la part des filles qui viennent à vélo (arrondie au dixième). Compare.

5) Parmi les élèves qui viennent à vélo, quel pourcentage sont des garçons ? Explique pourquoi ce résultat est différent de celui de la question 4.