Calcul numérique

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Calculer $A=12-3\times(5-2)$ :
a) 27   b) 3   c) -3   d) -15

2) Un article coûte $24\,000$ F. Il subit une hausse de $12{,}5\,\%$. Le nouveau prix est :
a) $27\,000$ F   b) $24\,125$ F   c) $21\,000$ F   d) $30\,000$ F

3) La solution de $-4x+9\le-3$ est :
a) $x\ge3$   b) $x\le3$   c) $x\ge-3$   d) $x\le-3$

4) L'intervalle $\,]-6\,;2]$ signifie :
a) $-6<x\le2$   b) $-6\le x<2$   c) $-6\le x\le2$   d) $-6<x<2$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de mil achète un sac à $18\,000$ F et le revend en réalisant un bénéfice de $20\,\%$ du prix d'achat. Pendant la période de soudure, il souhaite accorder une réduction $x$ (en francs) sur son prix de vente habituel, tout en gardant un bénéfice d'au moins $1\,500$ F par sac. Par ailleurs, son fournisseur annonce une hausse du prix d'achat de $8\,\%$ pour la prochaine campagne.

Consigne : Calculer le prix de vente habituel du sac. Écrire l'inéquation traduisant la contrainte de bénéfice minimal et la résoudre pour trouver la réduction maximale possible. Calculer enfin le nouveau prix de vente après la hausse du fournisseur, en conservant le même taux de bénéfice de $20\,\%$.

Exercice supplémentaire. Une coopérative de teinturières vend un pagne à $8\,000$ FCFA. Elle augmente le prix de $15\%$, puis, face à la baisse des ventes, le baisse de $10\%$ par rapport au nouveau prix.

1) Calculer le prix après l'augmentation.
2) Calculer le prix final après la baisse.
3) Comparer ce prix final au prix initial : hausse ou baisse globale, et de combien de pourcent ?

Problème. On donne les encadrements $2{,}23\le\sqrt5\le2{,}24$ et $1{,}73\le\sqrt3\le1{,}74$.

Partie A. 1) En déduire un encadrement de $\sqrt5+\sqrt3$. 2) En déduire un encadrement de $\sqrt5\times\sqrt3=\sqrt{15}$.

Partie B. 3) Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $|x+2|\ge4$.

Partie C. 4) À l'aide de l'encadrement obtenu en A.2, donner une valeur approchée de $\sqrt{15}$ à $10^{-1}$ près par excès.

Une commerçante achète une paire de chaussures 8 000 F chez son fournisseur.

1) Elle fixe son prix de vente en ajoutant une marge de 25 % du prix d'achat. Calcule le prix de vente.

2) Pendant les soldes, elle baisse ce prix de vente de 20 %. Calcule le prix soldé. Justifie, à l'aide des coefficients multiplicateurs, que ce résultat ne dépend pas du prix d'achat choisi.

3) Le prix d'un autre modèle passe de 6 000 F à 7 500 F. Calcule le pourcentage d'augmentation.

4) Le mètre de lacet décoratif est vendu au détail. Complète le tableau de proportionnalité suivant et donne le coefficient de proportionnalité.

5) En un mois, 400 clients entrent dans la boutique. 60 % d'entre eux achètent un article et, parmi les acheteurs, 45 % paient par téléphone mobile. Combien de clients paient par téléphone mobile ? Quel pourcentage de l'ensemble des clients cela représente-t-il ?

On considère les nombres suivants :

\[A=\frac{2}{3}+\frac{5}{6}-\frac{3}{4},\qquad B=\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}\div\frac{3}{4},\qquad C=\frac{6}{\sqrt{3}},\qquad D=\frac{2}{\sqrt{5}-1}.\]

1) Calcule \(A\) et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.

2) Calcule \(B\).

3) Écris \(C\) sans radical au dénominateur, sous la forme \(k\sqrt{3}\) avec \(k\) entier.

4) En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}+1\), démontre que \(D=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\).

5) On donne \(2{,}236\lt\sqrt{5}\lt 2{,}237\). Déduis-en un encadrement de \(D\), puis ses valeurs approchées à \(10^{-2}\) près par défaut et par excès.

La distance de la Terre au Soleil est d'environ \(d=1{,}5\times 10^{8}\) km. La lumière parcourt environ \(3\times 10^{5}\) km en une seconde.

1) En utilisant les règles de calcul sur les puissances, calcule le temps, en secondes, que met la lumière du Soleil pour arriver sur Terre. Convertis ce temps en minutes et secondes.

2) Calcule le nombre de secondes contenues dans une année de 365 jours et écris-le en écriture scientifique.

3) Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. Montre qu'elle vaut \(9{,}4608\times 10^{12}\) km, puis donne son arrondi en gardant deux chiffres après la virgule.

4) Une étoile se trouve à 4,2 années-lumière de la Terre. Calcule cette distance en km, en écriture scientifique arrondie à deux chiffres après la virgule.

5) Combien de fois cette étoile est-elle plus éloignée de la Terre que le Soleil ? Donne un ordre de grandeur et interprète.

Un cultivateur possède un champ carré dont l'aire est de 50 m². On note \(c\) la longueur de son côté, en mètres.

1) Justifie que \(c=\sqrt{50}\), puis écris \(c\) sous la forme \(a\sqrt{2}\) avec \(a\) entier.

2) On donne \(1{,}414\lt\sqrt{2}\lt 1{,}415\). Donne un encadrement de \(c\), puis ses valeurs approchées à \(10^{-2}\) près par défaut et par excès.

3) Encadre le périmètre \(P\) du champ. Le grillage est vendu par mètre entier, à 1 500 F le mètre. Combien de mètres doit-il acheter au minimum pour faire le tour du champ, et quel est le prix à payer ?

4) Calcule la longueur exacte de la diagonale du champ.

5) Il veut acheter un second champ carré d'aire \(A\) (en m²) dont le côté \(\sqrt{A}\) dépasse strictement 9 m, et dont l'aire est au plus 100 m². Résous l'inéquation \(\sqrt{A}\gt 9\) et donne l'ensemble des aires possibles.