Calcul littéral

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un agriculteur dispose de $40$ m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire pour ses volailles, adossé à un mur déjà existant (seuls les trois autres côtés doivent être clôturés : deux largeurs et une longueur). Il note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres.

Consigne : Exprimer la longueur de l'enclos en fonction de $x$, puis son aire $A(x)$. Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de l'enclos dépasse strictement $150$ m², en tenant compte des contraintes physiques du problème ($x>0$ et longueur $>0$).

1) Développe et réduis \(A=(2x-3)^2\).

2) Développe et réduis \(B=(x+4)(x-4)-(x-2)^2\).

3) Factorise \(C=9x^2-25\).

4) Factorise \(D=(x+1)^2-4\).

5) Factorise \(E=x^2-6x+9\).

Soit \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

1) Calcule \(P(1)\). Que peux-tu en déduire ?

2) Détermine les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\).

3) Factorise \(x^2-x-6\).

4) Déduis-en une factorisation de \(P(x)\), puis résous l'équation \(P(x)=0\).

Soit \(P(x)=2x^2-8x+6\).

1) Mets \(P(x)\) sous forme canonique.

2) Déduis-en la valeur minimale de \(P(x)\) et la valeur de \(x\) pour laquelle elle est atteinte.

3) Utilise la forme canonique pour résoudre \(P(x)=0\).

4) Développe \(2(x-1)(x-3)\) et compare avec \(P(x)\) pour contrôler ton résultat.

Un cultivateur possède un champ rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de \(5\) m et dont l'aire est \(84\) m². On note \(x\) la largeur, en mètres.

1) Exprime l'aire du champ en fonction de \(x\), puis montre que \(x\) vérifie \(x^2+5x-84=0\).

2) Vérifie que \(x^2+5x-84=(x-7)(x+12)\), puis résous l'équation.

3) Déduis-en les dimensions du champ.

4) Le cultivateur veut clôturer son champ avec un grillage à \(1\,500\) F le mètre. Calcule le coût de la clôture.

Une vendeuse d'attiéké remarque que, si elle vend le sachet au prix de \(x\) francs (\(0\le x\le200\)), elle en vend \(400-2x\) par semaine. Sa recette hebdomadaire, en francs, est donc \(R(x)=x(400-2x)\).

1) Développe \(R(x)\).

2) Montre que \(R(x)=-2(x-100)^2+20\,000\).

3) Déduis-en le prix qui donne la recette maximale, le nombre de sachets vendus et cette recette.

4) Résous l'équation \(R(x)=16\,800\).

5) Pour quels prix la recette est-elle au moins égale à \(16\,800\) F ?

Un bassin carré de côté \(x\) mètres (\(x\gt 0\)) est entouré d'une allée de 2 m de large. Le bassin et l'allée forment ensemble un grand carré. Le propriétaire veut carreler l'allée.

1) Exprime le côté du grand carré en fonction de \(x\), puis développe son aire \((x+4)^2\).

2) Justifie que l'aire de l'allée est \(A(x)=8x+16\), puis factorise \(A(x)\).

3) Pour \(x=6\), calcule l'aire de l'allée de deux façons : avec \(A(x)\), puis en faisant la différence des aires des deux carrés.

4) Le carrelage coûte 2 500 F le mètre carré. Calcule le coût du carrelage de l'allée lorsque \(x=6\).

5) Un autre propriétaire dispose exactement de 200 000 F pour le carrelage. Détermine le côté \(x\) du bassin qu'il peut construire, puis interprète le résultat.

On considère l'expression \(A(x)=(2x-3)^2-(x+1)^2\), où \(x\) est un nombre réel.

1) Développe et réduis \(A(x)\).

2) Factorise \(A(x)\) en utilisant l'identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). On donnera le résultat sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

3) Vérifie que tes deux résultats sont égaux en développant la forme factorisée, puis calcule \(A(1)\) avec chacune des deux formes.

4) En choisissant la forme la plus adaptée, résous l'équation \(A(x)=0\).

5) En choisissant la forme la plus adaptée, résous l'équation \(A(x)=8\). Justifie le choix de la forme utilisée dans les questions 4 et 5.

On considère les polynômes \(P(x)=x^2+2x-15\) et \(Q(x)=(x-3)(2x+1)+x^2-9\).

1) Vérifie que 3 est une racine de \(P\), c'est-à-dire que \(P(3)=0\).

2) Détermine le nombre \(b\) tel que \(P(x)=(x-3)(x+b)\) pour tout réel \(x\).

3) Factorise \(x^2-9\), puis déduis-en une factorisation de \(Q(x)\) sous la forme \((x-3)(\dots)\).

4) On pose \(R(x)=P(x)+Q(x)\). Factorise \(R(x)\) puis résous l'équation \(R(x)=0\).

5) Développe \(P(x)\) et \(Q(x)\), additionne-les et vérifie ainsi ta factorisation de \(R(x)\). Quel est le degré de \(R\) ?

Les produits remarquables permettent de calculer vite et de comparer des aires sans calculatrice.

1) En écrivant \(51=50+1\) et \(49=50-1\), calcule \(51^2\), \(49^2\) et \(51\times 49\) à l'aide des produits remarquables.

2) Justifie, sans utiliser les résultats de la question 1, que \(51^2-49^2=200\).

3) Un champ carré mesure 102 m de côté. Un champ rectangulaire mesure 104 m sur 100 m. Calcule le périmètre de chaque champ.

4) En écrivant \(104=102+2\) et \(100=102-2\), compare les aires des deux champs sans poser de multiplication.

5) Plus généralement, on compare un carré de côté \(x\) et un rectangle de dimensions \(x+2\) et \(x-2\) (avec \(x\gt 2\)). Montre que l'aire du carré dépasse toujours celle du rectangle de 4, et interprète ce résultat.