Vecteurs du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$   b) $(6;10)$   c) $(4;10)$   d) $(-4;-6)$

3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$   b) $(8;2)$   c) $(2;2)$   d) $(4;2)$

4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$   b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$   c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$   d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.

Exercice supplémentaire. Un géomètre place trois piquets $A(1;2)$, $B(4;6)$, $C(-2;3)$ dans un repère.

1) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et sa norme.
2) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{AB}=\vec{CD}$ (parallélogramme $ABDC$).
3) Vérifier, par la relation de Chasles, que $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$.

Soit \(ABC\) un triangle. On définit les points \(M\), \(N\) et \(P\) par : \(\vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AB}\) ; \(N\) est le milieu de \([AC]\) ; \(P\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\). On travaille dans la base \((\vec{AB},\vec{AC})\).

1) Exprime \(\vec{AM}\), \(\vec{AN}\) et \(\vec{AP}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

2) Déduis-en l'expression de \(\vec{MN}\) et de \(\vec{MP}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

3) Démontre que \(\vec{MP}=-2\vec{MN}\) et conclus sur les points \(M\), \(N\) et \(P\). Retrouve ce résultat à l'aide du déterminant.

4) Démontre que \(\vec{NM}=\frac{1}{3}\vec{NP}\) et interprète la position de \(M\) sur le segment \([NP]\).

5) Pour un réel \(x\), on note \(R\) le point tel que \(\vec{AR}=x\vec{AB}+\vec{AC}\). Détermine \(x\) pour que \(R\) appartienne à la droite \((MN)\), puis exprime \(\vec{CR}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et interprète.

Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3;4)\), \(C(5;0)\) et \(E(1;8)\).

1) Calcule les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis \(\det(\vec{AB},\vec{AC})\). Déduis-en que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et que \((\vec{AB},\vec{AC})\) est une base.

2) Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Vérifie le résultat à l'aide des milieux des diagonales.

3) En résolvant un système, détermine les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\vec{AE}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}\).

4) Déduis de la question précédente que \(B\) est le milieu du segment \([CE]\). Que peut-on en conclure pour les points \(C\), \(B\) et \(E\) ?

5) Détermine le réel \(t\) tel que le point \(F(1;t)\) appartienne à la droite \((AC)\). Justifie que \(F\) est le point d'intersection des droites \((DE)\) et \((AC)\).

Un artisan suspend une lourde charge à l'aide de deux cordes attachées à un nœud \(O\). Dans un repère orthonormé d'origine \(O\) (unité : 1 m), la corde 1 est fixée au point \(A(-2;2)\) et la corde 2 au point \(B(4;2)\). On pose \(\vec{u_1}(-1;1)\) et \(\vec{u_2}(2;1)\), de sorte que \(\vec{OA}=2\vec{u_1}\) et \(\vec{OB}=2\vec{u_2}\). Le poids de la charge est représenté par le vecteur force \(\vec{P}(0;-600)\) (en newtons). Les forces exercées par les cordes sur le nœud sont \(\vec{T_1}=\alpha\vec{u_1}\) et \(\vec{T_2}=\beta\vec{u_2}\), avec \(\alpha\gt 0\) et \(\beta\gt 0\). À l'équilibre, \(\vec{T_1}+\vec{T_2}+\vec{P}=\vec{0}\).

1) Démontre que \((\vec{u_1},\vec{u_2})\) est une base du plan.

2) Traduis la condition d'équilibre par un système de deux équations d'inconnues \(\alpha\) et \(\beta\), puis résous-le.

3) Donne les coordonnées de \(\vec{T_1}\) et \(\vec{T_2}\), puis calcule leurs normes (intensités des forces). Quelle corde est la plus sollicitée ?

4) La corde 1 casse si l'intensité de la force qu'elle exerce dépasse 550 N. Justifie que cette installation n'est pas sûre.

5) L'artisan fixe la corde 1 plus haut, au point \(A'(-2;4)\). Reprends les calculs avec la nouvelle direction \(\vec{u_1'}(-1;2)\) et conclus.

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On note \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AD]\) et \(L\) le milieu de \([BC]\). On munit le plan du repère \((A;\vec{AB},\vec{AD})\).

1) Donne les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(I\), \(J\) et \(L\) dans ce repère, en justifiant celles de \(C\).

2) Soit \(G\) le point tel que \(\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AC}\). Démontre que les points \(D\), \(G\) et \(I\) sont alignés.

3) Démontre que les points \(B\), \(G\) et \(J\) sont alignés.

4) Démontre que \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GD}=\vec{0}\). Interprète les résultats des questions 2, 3 et 4 pour le triangle \(ABD\).

5) La droite \((DL)\) coupe la droite \((AC)\) en un point \(G'\). Détermine les coordonnées de \(G'\), puis démontre que \(G\) et \(G'\) partagent la diagonale \([AC]\) en trois segments de même longueur.