Seconde C · Leçon 2
Équations et inéquations du second degré
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
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Voir les offresSoit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un nombre réel. On a l'équivalence :
\[ P(a) = 0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x) = (x-a)\,Q(x). \]On dit alors que \(a\) est un zéro (ou une racine) de \(P\). Le polynôme \(Q\) s'obtient par la méthode des coefficients indéterminés.
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Voir les offresTrinôme du second degré : forme canonique
Un polynôme du second degré s'écrit \(P(x) = ax^2+bx+c\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \ne 0\). Sa forme canonique est :
\[ P(x) = a\left(x-\alpha\right)^2 + \beta, \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a},\quad \beta = P(\alpha). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresÉquation du second degré : discriminant et racines
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).
Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,
\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.
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Voir les offresSigne du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Résumé
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