Seconde C · Leçon 11
Géométrie dans l'espace
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresDeux droites de l'espace peuvent être coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires (ce qui n'existe pas dans le plan). Une droite et un plan sont soit sécants (en un point), soit parallèles, soit la droite est contenue dans le plan. Deux plans sont sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles.
Règle clé : pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de montrer qu'elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan (elle l'est alors à toute droite du plan). Le plan médiateur d'un segment \([AB]\) est le plan orthogonal à \((AB)\) passant par son milieu ; il contient exactement les points équidistants de \(A\) et \(B\) (généralisation dans l'espace de la médiatrice du plan).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSolides usuels et perspective cavalière
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Parallélépipède rectangle en perspective cavalière
Les arêtes visibles sont en trait plein, les arêtes cachées en pointillés — la convention standard de la perspective cavalière.
Droites orthogonales. Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont deux droites orthogonales et sécantes. Dans un cube \(ABCDEFGH\) (face du bas \(ABCD\), face du haut \(EFGH\), arêtes verticales \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\)), les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales sans être sécantes : la parallèle à \((FG)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui est perpendiculaire à \((AB)\).
Droite perpendiculaire à un plan. Une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\) lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Critère (admis). Il suffit que \(d\) soit orthogonale à deux droites sécantes de \(P\) pour être perpendiculaire à \(P\). Elle est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Plans perpendiculaires. Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite perpendiculaire à l'autre.
Sur le cube. La droite \((AE)\) est perpendiculaire à \((AB)\) et à \((AD)\), deux droites sécantes du plan \((ABC)\) : elle est donc perpendiculaire au plan \((ABC)\). Le plan \((ABF)\) contient \((AE)\) : il est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Deux propriétés utiles. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Figure — Deux droites orthogonales qui ne se coupent pas
En bleu, la droite \((AB)\) ; en or, les droites parallèles \((FG)\) et \((BC)\). La droite \((BC)\) passe par \(B\) et elle est perpendiculaire à \((AB)\) : l'angle droit, marqué en \(B\), n'apparaît pas droit sur le dessin. Les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont donc orthogonales, sans avoir de point commun.
Démontrer qu'une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\).
- Repère dans \(P\) deux droites sécantes, par exemple deux côtés d'une face ou les deux diagonales d'un carré.
- Montre que \(d\) est orthogonale à la première, puis à la seconde. Pour chacune, utilise une figure plane connue (carré, rectangle, triangle rectangle) ou une perpendicularité déjà démontrée.
- Conclus avec le critère : \(d\) est perpendiculaire à \(P\).
Démontrer que deux droites \(d\) et \(d'\) sont orthogonales. Cherche un plan \(P\) qui contient \(d'\) et auquel \(d\) est perpendiculaire. Comme \(d\) est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\), elle est orthogonale à \(d'\). Cette méthode marche même quand les deux droites ne se coupent pas.
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires. Trouve dans l'un des deux plans une droite perpendiculaire à l'autre.
Un solide dessiné sur une feuille est représenté en perspective cavalière. Le dessin respecte certaines propriétés de l'objet réel, mais pas toutes.
Conservé. L'alignement des points ; le parallélisme (deux droites parallèles dans l'espace sont dessinées parallèles) ; les milieux, et plus généralement les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles ; la forme exacte de toute figure située dans un plan vu de face.
Non conservé. Les angles, en particulier les angles droits : une face carrée vue de côté est dessinée comme un parallélogramme. Les longueurs sur les fuyantes, qui sont réduites. La perpendicularité en général.
Conséquences pour raisonner. Deux droites qui se croisent sur le dessin ne sont pas forcément sécantes dans l'espace. Deux droites qui paraissent perpendiculaires ne le sont pas forcément, et un angle droit réel n'apparaît pas toujours droit. On ne lit donc jamais une intersection ou un angle sur le dessin : on les justifie avec les règles du cours.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Démontre que la droite \((BD)\) est perpendiculaire au plan \((ACE)\), puis que les droites \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales.
Solution. On cherche deux droites sécantes du plan \((ACE)\) orthogonales à \((BD)\).
Première droite : \(ABCD\) est un carré, ses diagonales sont perpendiculaires, donc \((BD)\) est perpendiculaire à \((AC)\).
Seconde droite : \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à \((BD)\).
Les droites \((AC)\) et \((AE)\) sont sécantes en \(A\) et contenues dans le plan \((ACE)\). La droite \((BD)\) est orthogonale à ces deux droites : elle est donc perpendiculaire au plan \((ACE)\).
La droite \((EC)\) est contenue dans le plan \((ACE)\). Or une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Donc \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales. Elles ne sont pas sécantes : sur un dessin, rien ne laissait deviner cet angle droit.
Figure — La droite (BD) et le plan (ACE)
En couleur, le plan \((ACE)\), qui contient aussi le point \(G\). En bleu, la droite \((BD)\), perpendiculaire à ce plan. En or, la droite \((EC)\), contenue dans le plan : elle est orthogonale à \((BD)\), et pourtant les deux droites ne se coupent pas.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Le cube est dessiné en perspective cavalière, la face \(ABFE\) étant vue de face. Sur le dessin : a) l'angle \(\widehat{ABC}\) n'apparaît pas droit ; b) le segment \([BC]\) est plus court que le segment \([AB]\) ; c) le milieu de \([BC]\) est placé au milieu du segment dessiné ; d) les droites \((EG)\) et \((BD)\) se croisent. Dis, pour chaque observation, ce qui est vrai dans la réalité.
Solution. a) La face \(ABCD\) est un carré, donc l'angle \(\widehat{ABC}\) est droit dans la réalité. Cette face est vue de côté : elle est dessinée comme un parallélogramme et l'angle droit n'est pas conservé.
b) Toutes les arêtes d'un cube ont la même longueur, donc \(BC=AB\). L'arête \([BC]\) est une fuyante : sa longueur est réduite sur le dessin.
c) C'est exact : les milieux sont conservés, même sur une fuyante. On peut donc placer un milieu directement sur le dessin.
d) Les droites \((EG)\) et \((BD)\) ne sont pas sécantes : \((EG)\) est dans le plan \((EFG)\), \((BD)\) dans le plan \((ABC)\), et ces deux plans sont strictement parallèles, donc n'ont aucun point commun. Elles ne sont pas parallèles non plus, car \((EG)\) est parallèle à \((AC)\), qui coupe \((BD)\). Elles sont non coplanaires. Elles sont même orthogonales, puisque \((AC)\) est perpendiculaire à \((BD)\) (diagonales du carré).
« Orthogonale à une droite du plan, donc perpendiculaire au plan. » Faux : il faut deux droites, et elles doivent être sécantes. Dans le cube, \((BC)\) est orthogonale à \((AB)\) et à \((HG)\), deux droites parallèles du plan \((ABG)\), et pourtant elle n'est pas perpendiculaire à ce plan.
Confondre orthogonales et perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires se coupent. Deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales et non coplanaires.
Mesurer sur le dessin. On ne mesure ni un angle ni une longueur sur une fuyante. Un angle droit se démontre, il ne se lit pas.
Croire qu'un croisement sur la feuille est un point d'intersection. Vérifie toujours que les deux droites sont dans un même plan.
Sections planes de solides et de polyèdres
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresLeurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles peuvent ne pas se couper.
Il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
L'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
L'alignement, le parallélisme, les milieux, et les figures situées dans un plan vu de face.
Les angles droits, les longueurs sur les fuyantes : on démontre, on ne mesure pas.