Seconde C · Leçon 6

Fonctions circulaires

Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables

Contenu Premium

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Définition — Cosinus et sinus d'un réel

Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.

Valeurs remarquables

Pour les angles remarquables (en radians) :

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]

Relations entre cosinus et sinus d'angles associés

À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :

\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]

Exemples gradués

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Figure interactive — Cercle trigonométrique

\(x\) (en degrés) = 60°

Déplacez le curseur pour voir le point M se déplacer sur le cercle ; ses coordonnées sont \((\cos x\,;\,\sin x)\).

Fonctions cosinus et sinus

Propriétés des fonctions cos et sin

Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.

Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).