Seconde C · Leçon 3
Systèmes linéaires
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
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Voir les offresUn système de deux équations linéaires à deux inconnues \(x, y\) s'écrit :
\[ \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \]Résoudre le système, c'est trouver tous les couples \((x,y)\) qui vérifient simultanément les deux équations.
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Voir les offresSystèmes 2×2 : déterminant et interprétation graphique
Chaque équation \(ax+by=e\) (avec \(b\ne0\)) représente une droite. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.
Trois cas : les droites sont sécantes (une unique solution) ; parallèles distinctes (aucune solution) ; ou confondues (une infinité de solutions).
On appelle déterminant du système \(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) le nombre \(D=ad-bc\).
Si \(D \ne 0\), le système admet une unique solution (droites sécantes). Si \(D=0\), les droites sont parallèles : le système n'a aucune solution, ou une infinité si les deux équations sont proportionnelles.
Les formules explicites de Cramer ne sont pas au programme : le déterminant sert uniquement à établir l'existence et l'unicité de la solution avant de résoudre par substitution ou combinaison.
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Voir les offresFigure interactive — Système 2×2
\(\begin{cases}x+2y=7\\3x-y=7\end{cases}\) : les deux droites se coupent en un unique point, la solution du système.
Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues
Une inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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