Seconde C · Leçon 8

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés

Définition — Produit scalaire (par projection)

Soit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :

\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \]

(produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).

Formule avec l'angle, caractérisation de l'orthogonalité \[ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\theta, \qquad \theta = (\widehat{\vec u,\vec v}). \]

En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.

Propriétés — Symétrie, linéarité

\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).

Produit scalaire en repère orthonormé

Formules analytiques

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :

\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]

Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

Exemples gradués

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Relations métriques et résolution de triangles

Relation métrique dans un triangle (loi des cosinus)

Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :

\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]

Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.

Méthode — Déterminer un ensemble de points M

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Figure interactive — Cercle de diamètre [AB]

Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).