Transformations du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$   b) $-6$   c) $1{,}5$   d) $9$

2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité   b) une symétrie centrale   c) une rotation   d) une translation

3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre   b) une symétrie orthogonale   c) une translation   d) l'identité

4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$   b) $(5;8)$   c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$   d) $(-6;-15)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?

Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.

1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?

Problème.

Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.

Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).

Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(1;2)\) et de rapport \(-2\). On note \(M'(x';y')\) l'image par \(h\) du point \(M(x;y)\).

1) Démontre que \(x'=-2x+3\) et \(y'=-2y+6\).

2) Soit \(A(2;3)\) et la droite \(D:x+y-5=0\). Vérifie que \(A\) appartient à \(D\), calcule les coordonnées de \(A'=h(A)\) et détermine une équation de la droite \(D'\), image de \(D\) par \(h\). Justifie ta méthode.

3) Soit \(\mathcal{C}\) le cercle d'équation \((x-3)^2+(y-2)^2=1\). Détermine une équation du cercle \(\mathcal{C}'\), image de \(\mathcal{C}\) par \(h\).

4) Quelle est la transformation réciproque \(h^{-1}\) ? Utilise-la pour trouver le point \(N\) dont l'image par \(h\) est \(P(5;-4)\), puis vérifie avec la question 1.

5) Compare l'aire du disque limité par \(\mathcal{C}'\) à celle du disque limité par \(\mathcal{C}\). Interprète ce résultat à l'aide du rapport de \(h\).

Le plan est orienté. \(ABC\) est un triangle direct. On construit à l'extérieur de \(ABC\) deux triangles équilatéraux \(ABE\) et \(ACF\) tels que \((\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})=\frac{\pi}{3}\) et \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})=\frac{\pi}{3}\). On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).

1) Justifie que \(r(E)=B\) et \(r(C)=F\).

2) Déduis-en que \(EC=BF\) et donne une mesure de l'angle \((\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BF})\).

3) Précise la transformation réciproque \(r^{-1}\), puis les images de \(B\) et de \(F\) par \(r^{-1}\).

4) Détermine la nature de \(r\circ r\) et de \(r\circ r\circ r\). Déduis-en que \(r\circ r\circ r(E)\) est le symétrique de \(E\) par rapport à \(A\).

5) Dans un repère orthonormé direct, on prend \(A(0;0)\), \(B(2;0)\) et \(C(0;2)\). Calcule les coordonnées de \(E\) et de \(F\), puis vérifie par le calcul que \(EC=BF\).

Deux villages \(A\) et \(B\) sont situés du même côté d'un fleuve rectiligne. Dans un repère orthonormé d'unité 1 km, le bord du fleuve est l'axe des abscisses, \(A(1;3)\) et \(B(7;5)\). On veut installer une pompe en un point \(M\) du bord du fleuve et poser deux canalisations rectilignes \([MA]\) et \([MB]\), de longueur totale \(AM+MB\) la plus petite possible. On note \(s\) la symétrie orthogonale d'axe le bord du fleuve et \(A'=s(A)\).

1) Donne les coordonnées de \(A'\). Justifie que, pour tout point \(M\) du bord du fleuve, \(AM=A'M\).

2) Démontre que \(AM+MB\ge A'B\) et précise dans quel cas il y a égalité.

3) Détermine une équation de la droite \((A'B)\) et les coordonnées du point \(M_0\) où il faut installer la pompe.

4) Calcule la longueur minimale de canalisation. Compare-la avec la longueur obtenue si l'on place la pompe au point \(P(1;0)\), juste en face du village \(A\).

5) Un kilomètre de canalisation posée coûte 1 200 000 francs. Quelle économie, arrondie au millier de francs, réalise-t-on en choisissant \(M_0\) plutôt que \(P\) ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points \(I(1;0)\), \(J(3;2)\) et \(K(5;1)\), et les symétries centrales \(s_I\), \(s_J\) et \(s_K\) de centres respectifs \(I\), \(J\) et \(K\).

1) Démontre que l'image de \(M(x;y)\) par \(s_I\) est \(M_1(2-x;-y)\). Donne de même les expressions de \(s_J\) et de \(s_K\).

2) Démontre que \(s_J\circ s_I\) est une translation dont tu préciseras le vecteur, et compare ce vecteur à \(\overrightarrow{IJ}\).

3) Détermine de même \(s_I\circ s_J\). La composition des symétries centrales est-elle commutative ? L'application \(s_J\circ s_I\) a-t-elle des points invariants ?

4) Démontre que \(f=s_K\circ s_J\circ s_I\) est une symétrie centrale dont tu donneras le centre \(L\).

5) Démontre que \(IJKL\) est un parallélogramme et interprète ce résultat.