Systèmes linéaires

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$   b) $12$   c) $-12$   d) $24$

2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) exactement deux solutions

3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;2)$   c) $(2;-3)$   d) $(-2;3)$

4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$   b) un cercle   c) deux droites parallèles   d) une parabole

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.

Exercice supplémentaire. Une coopérative de Diapaga achète des kits scolaires : $\begin{cases}4x+3y=1\,900\\2x+y=800\end{cases}$ modélise le prix $x$ d'un cahier et $y$ d'un stylo (en FCFA).

1) Calculer le déterminant de ce système.
2) Résoudre le système.
3) Le système $\begin{cases}2x+3y=100\\4x+6y=250\end{cases}$ a-t-il une solution unique ? Justifier par son déterminant.

Problème. Une association organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.

Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.

Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.

Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.

Pour tout réel \(m\), on considère le système \((S_m)\) : \(\left\{\begin{array}{l}(m-1)x+2y=4\\ x+my=2\end{array}\right.\) d'inconnues réelles \(x\) et \(y\).

1) Calcule le déterminant \(D(m)\) de \((S_m)\) et factorise-le.

2) Pour \(m=2\) puis pour \(m=-1\), écris le système, résous-le et interprète graphiquement le résultat.

3) On suppose \(m\ne 2\) et \(m\ne -1\). Justifie que \((S_m)\) a une unique solution et exprime-la en fonction de \(m\).

4) Pour quelle valeur de \(m\) la solution vérifie-t-elle \(x=0\) ? Calcule alors \(y\) et vérifie dans le système.

5) Pour \(m=0\), donne la solution par les formules de la question 3, puis interprète-la comme point d'intersection de deux droites.

Une transformatrice vend des bouteilles de jus de bissap à 300 F et de jus de gingembre à 400 F.

1) Un jour, elle a vendu 50 bouteilles pour une recette de 17 000 F. Mets le problème en équations et détermine, à l'aide des déterminants, le nombre de bouteilles de chaque sorte.

2) Pour la semaine suivante, elle prépare \(x\) bouteilles de bissap et \(y\) bouteilles de gingembre. Une bouteille de bissap demande 200 g de sucre, une bouteille de gingembre 100 g, et elle dispose de 10 kg de sucre. Elle ne peut pas préparer plus de 70 bouteilles. Traduis ces contraintes par un système d'inéquations.

3) Détermine le point d'intersection des droites d'équations \(2x+y=100\) et \(x+y=70\) et justifie qu'il correspond à une production possible.

4) Les productions \(B(20;50)\) et \(C(45;15)\) sont-elles possibles ? Justifie.

5) Calcule la recette de la production de la question 3 et celle de \(B\), puis interprète.

On considère le système \((\Sigma)\) : \(\left\{\begin{array}{l}3X+2Y=a\\ X-4Y=b\end{array}\right.\) où \(a\) et \(b\) sont des réels donnés.

1) Calcule le déterminant de \((\Sigma)\), justifie que \((\Sigma)\) a toujours une unique solution, puis exprime \(X\) et \(Y\) en fonction de \(a\) et \(b\).

2) Résous \((\Sigma)\) pour \(a=2\) et \(b=-\frac{1}{2}\).

3) Déduis-en les solutions du système \(\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{x-1}+\frac{2}{y+2}=2\\ \frac{1}{x-1}-\frac{4}{y+2}=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\) en précisant les conditions d'existence.

4) Résous \((\Sigma)\) pour \(a=35\) et \(b=-7\).

5) Déduis-en toutes les solutions du système \(\left\{\begin{array}{l}3x^2+2y^2=35\\ x^2-4y^2=-7\end{array}\right.\) et interprète leur nombre.

Un ballon est lancé verticalement depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, au bout de \(t\) secondes est donnée par \(h(t)=at^2+bt\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels. On mesure \(h(1)=15\) et \(h(2)=20\).

1) Démontre que \(a\) et \(b\) vérifient le système \(\left\{\begin{array}{l}a+b=15\\ 2a+b=10\end{array}\right.\).

2) Résous ce système à l'aide des déterminants.

3) Démontre que \(h(t)=-5(t-2)^2+20\). Déduis-en la hauteur maximale atteinte et l'instant correspondant.

4) À quel instant le ballon retombe-t-il au sol ?

5) Pendant combien de temps le ballon se trouve-t-il à au moins 15 m de hauteur ?