Produit scalaire dans le plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

Exercice supplémentaire. Un topographe mesure un triangle $ABC$ avec $AB=6$, $AC=8$ et l'angle $\widehat{BAC}=60°$.

1) Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2) Ce triangle est-il rectangle en $A$ ?
3) Calculer $BC$ à l'aide de $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\widehat{BAC})$.

Problème.

Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.

Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les points \(A(-1;1)\), \(B(3;3)\) et \(C(1;5)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

2) Calcule les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Déduis-en \(\cos\widehat{BAC}\) et précise la nature du triangle ABC.

3) Déduis de la question 2 la valeur exacte de \(\sin\widehat{BAC}\), puis l'aire du triangle ABC.

4) On note H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). En utilisant \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}\), démontre que \(\overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\), puis calcule les coordonnées de H et la longueur BH. Vérifie l'aire trouvée à la question 3.

5) On note \(\mathcal{E}\) l'ensemble des points \(M(x;y)\) du plan tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}=16\). Démontre que \(M\in\mathcal{E}\) si et seulement si \(x+2y=9\). Justifie que \(\mathcal{E}\) est la droite perpendiculaire à (AC) passant par H et qu'elle contient B.

Un géomètre relève un terrain triangulaire ABC. Depuis le coin A, il mesure \(AB=80\) m, \(AC=50\) m et l'angle \(\widehat{BAC}=60^\circ\). Le propriétaire veut clôturer le terrain, connaître sa superficie et tracer une allée rectiligne de A jusqu'au côté [BC], perpendiculaire à ce côté.

1) Calcule la longueur BC. Déduis-en le périmètre du terrain et le coût de la clôture à 1 500 F le mètre.

2) Calcule \(\cos\widehat{ABC}\) et \(\cos\widehat{ACB}\), puis des valeurs approchées des angles au centième de degré. Quel est le plus grand angle du terrain ? Justifie que tous les angles sont aigus.

3) Calcule la valeur exacte puis une valeur approchée au m² près de l'aire du terrain.

4) Calcule la valeur exacte de \(\sin\widehat{ABC}\), puis vérifie la relation des sinus \(\frac{BC}{\sin\widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin\widehat{ABC}}\).

5) On note H le pied de l'allée sur [BC]. Calcule la longueur AH de deux façons différentes et interprète.

A et B sont deux points du plan tels que \(AB=6\) cm, et I est le milieu de [AB]. M désigne un point quelconque du plan.

1) Démontre que \(MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\) (théorème de la médiane).

2) Détermine l'ensemble \(\mathcal{E}_1\) des points M tels que \(MA^2+MB^2=50\).

3) Démontre que \(MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}\). Déduis-en l'ensemble \(\mathcal{E}_2\) des points M tels que \(MA^2-MB^2=24\).

4) En résolvant un système, calcule \(MA\) et \(MB\) pour un point M de \(\mathcal{E}_1\cap\mathcal{E}_2\). Combien ce point d'intersection a-t-il de positions possibles ? Précise sa distance à la droite (AB).

5) Démontre que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{AB^2}{4}\). Déduis-en que \(\mathcal{E}_1\) est aussi l'ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=7\), puis calcule \(\cos\widehat{AMB}\) pour un point M de \(\mathcal{E}_1\cap\mathcal{E}_2\).

Une charrette est tirée par un âne sur un terrain plat, muni d'un repère orthonormé d'unité 1 mètre et d'origine le point de départ A. La force de traction est constante : \(\vec{F}(60;80)\), en newtons. En physique, le travail (en joules) de cette force lors d'un déplacement de P à Q est \(W=\vec{F}\cdot\overrightarrow{PQ}\). La charrette va de \(A(0;0)\) à \(B(40;0)\), puis de B à \(C(60;-15)\).

1) Calcule l'intensité \(\|\vec{F}\|\), le travail \(W_{AB}\) et le cosinus de l'angle entre \(\vec{F}\) et \(\overrightarrow{AB}\). Donne une valeur approchée de cet angle.

2) Calcule le travail \(W_{BC}\). Interprète le résultat géométriquement.

3) Justifie, à l'aide des propriétés du produit scalaire, que \(W_{AC}=W_{AB}+W_{BC}\), puis vérifie ce résultat par un calcul direct.

4) Détermine l'ensemble des points \(D(x;y)\) tels que le travail de A à D soit égal à 2 400 J. Vérifie que B et C lui appartiennent.

5) Parmi tous les déplacements de longueur 10 m partant de A, lequel donne le plus grand travail ? Justifie et donne ce travail.