Seconde C · Leçon 9
Géométrie plane
Exercices corrigés
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
Voir le corrigé
- Réponse : a. Vecteur directeur $(3;-1)$ donne une équation de la forme $x+3y+\gamma=0$ ; en $A(1;2)$ : $1+6+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-7$.
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=2\times10-4\times5=0$ : parallèles (éventuellement confondues, mais pas certain sans un point commun).
- Réponse : a. Forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec $a=-2$, $b=3$, $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
- Réponse : a. Définition vectorielle du barycentre.
Situation d'intégration — Stockage mutualisé au marchéProblème — Intersection cercle-droite et barycentreExercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice 2 — Situation d'intégration
Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.
Voir le corrigé
- $x_G=\dfrac{2\times0+1\times12+3\times6}{2+1+3}=\dfrac{30}6=5$. $y_G=\dfrac{2\times0+1\times0+3\times9}6=\dfrac{27}6=4{,}5$. $G(5;4{,}5)$.
- $AG=\sqrt{5^2+4{,}5^2}=\sqrt{25+20{,}25}=\sqrt{45{,}25}\approx6{,}73$.
- $G'=\left(\dfrac{0+12+6}3;\dfrac{0+0+9}3\right)=(6;3)$. $G'$ est plus proche de $B$ et $C$ que $G$ ($y_{G'}=3<y_G=4{,}5$) : sans le poids fort de $C$, le point d'équilibre redescend et se décale légèrement vers la droite.
- Substitution : $x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$. $\Delta=1+48=49$. $x=\dfrac{1\pm7}2$, soit $x=4$ ou $x=-3$. Points $A(4;3)$ et $B(-3;-4)$.
- $x_G=\dfrac{3\times4+1\times(-3)}4=\dfrac94=2{,}25$. $y_G=\dfrac{3\times3+1\times(-4)}4=\dfrac54=1{,}25$. $G(2{,}25;1{,}25)$.
- La droite $(AB)$ est justement $y=x-1$ (les deux points en sont issus). On vérifie $y_G=x_G-1$ : $2{,}25-1=1{,}25=y_G$ : confirmé, $G$ est bien sur $(AB)$ — cohérent avec le fait que le barycentre de deux points est toujours situé sur la droite qui les joint.
- $G=\left(\dfrac{1\times0+1\times6+2\times0}{1+1+2}\,;\,\dfrac{1\times0+1\times0+2\times8}{1+1+2}\right)=\left(\dfrac{6}{4}\,;\,\dfrac{16}{4}\right)=(1{,}5\,;4)$.
- $GC=\sqrt{(1{,}5-0)^2+(4-8)^2}=\sqrt{2{,}25+16}=\sqrt{18{,}25}\approx4{,}27$.
- Le cercle de centre $C$ et de rayon $3$ contient les points à distance exactement $3$ de $C$. Or $GC\approx4{,}27>3$ : $G$ n'appartient pas à ce cercle.
Exercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).
1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?
Problème — Isobarycentre, colinéarité, combinaison linéaire
Problème.
Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).
Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.
Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.
Problème — Intersection cercle-droite et barycentre
Problème.
Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.
Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.
Triangle rectangle, cercle circonscrit et rectangle inscrit
Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3;4)\) et \(C(5;0)\).
1) Détermine une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2) Démontre que les droites \((AB)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires. Que peux-tu en déduire pour le triangle \(ABC\) ?
3) Déduis-en le centre \(\Omega\) et le rayon du cercle \(\Gamma\) circonscrit au triangle \(ABC\), puis une équation cartésienne de \(\Gamma\).
4) Soit \(D\) la droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\). Donne une représentation paramétrique de \(D\), puis détermine les coordonnées du second point d'intersection \(E\) de \(D\) avec \(\Gamma\).
5) Démontre que le quadrilatère \(ABCE\) est un rectangle.
Point d'équilibre d'une plaque chargée de trois masses
Une plaque triangulaire très légère (sa masse est négligeable) est posée dans un repère orthonormé dont l'unité est le décimètre. On fixe une masse de 2 kg au point \(A(0;0)\), une masse de 3 kg au point \(B(6;0)\) et une masse de 5 kg au point \(C(0;4)\). Le point d'équilibre de la plaque est le barycentre \(G\) des points pondérés \((A;2)\), \((B;3)\) et \((C;5)\).
1) Justifie que \(G\) existe. On note \(I\) le barycentre de \((A;2)\) et \((B;3)\) : exprime \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et calcule les coordonnées de \(I\).
2) En utilisant l'associativité du barycentre, démontre que \(G\) est le milieu de \([IC]\).
3) Déduis-en les coordonnées de \(G\), puis vérifie-les par la formule directe des coordonnées du barycentre.
4) Vérifie par le calcul que \(2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+5\overrightarrow{GC}=\vec{0}\).
5) On remplace la masse de 5 kg placée en \(C\) par une masse de \(m\) kg (avec \(m\gt 0\)). Pour quelle valeur de \(m\) le point d'équilibre se trouve-t-il sur la droite d'équation \(y=x\) ? Interprète.
Angles orientés et nouvelle base orthonormée directe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}(\sqrt{3};1)\) et \(\vec{v}(-1;\sqrt{3})\), puis \(\vec{e_1}=\frac{1}{2}\vec{u}\) et \(\vec{e_2}=\frac{1}{2}\vec{v}\).
1) Calcule \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). Déduis-en que \((\vec{e_1},\vec{e_2})\) est une base orthonormée.
2) Détermine la mesure principale de chacun des angles orientés \((\vec{i},\vec{u})\) et \((\vec{i},\vec{v})\).
3) À l'aide de la relation de Chasles, détermine une mesure de \((\vec{u},\vec{v})\). Justifie que la base \((\vec{e_1},\vec{e_2})\) est directe.
4) Soit \(\vec{w}=-\vec{u}\). Détermine les mesures principales de \((\vec{i},\vec{w})\) et de \((\vec{v},\vec{w})\).
5) Soit le point \(M(0;4)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\). Détermine ses coordonnées \((X;Y)\) dans le repère \((O;\vec{e_1},\vec{e_2})\) en calculant \(\overrightarrow{OM}\cdot\vec{e_1}\) et \(\overrightarrow{OM}\cdot\vec{e_2}\), puis vérifie ton résultat.
Deux motos sur des routes rectilignes
Sur une carte munie d'un repère orthonormé (unité : 10 km), une première moto part à l'instant \(t=0\) (en heures) du point \(A(0;1)\) ; sa position à l'instant \(t\) est \(P(3t;1+4t)\). Au même instant, une seconde moto part du point \(B(8;0)\) ; sa position est \(Q(8-4t;3t)\). Chaque moto roule sur une route rectiligne : \(D_1\) pour la première, \(D_2\) pour la seconde.
1) Donne un vecteur directeur de \(D_1\) et de \(D_2\), puis une équation cartésienne de chacune de ces droites.
2) Démontre que les deux routes sont perpendiculaires. Calcule la vitesse de chaque moto en km/h.
3) Détermine les coordonnées du point de croisement \(K\) des deux routes.
4) À quelle heure chaque moto passe-t-elle en \(K\) ? Y a-t-il un risque de collision ? Justifie.
5) Calcule la distance réelle, en km, qui sépare les deux motos au moment où la première passe en \(K\).