Géométrie dans l'espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG construit un réservoir d'eau en forme de parallélépipède rectangle pour un village. Dimensions intérieures : $4$ m de longueur, $3$ m de largeur, $2{,}5$ m de hauteur.

Consigne : 1) Calculer le volume du réservoir en m³ puis en litres ($1$ m³ $=1000$ L). 2) Une pompe solaire remplit le réservoir à $250$ L/h. Combien de temps (en heures, puis en jours à raison de $10$ h de pompage utile par jour) faut-il pour le remplir ? 3) Un plan horizontal coupe le réservoir parallèlement à la base, à mi-hauteur ($1{,}25$ m). Quelle est la nature de la section, et quelle fraction du volume total se trouve en dessous ?

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

Problème.

Partie A. Une pyramide de base carrée $ABCD$ a un côté de base $8$ m et une hauteur de $12$ m, sommet $S$.
1) Calculer le volume de la pyramide (rappel : $V=\dfrac13\times\text{aire base}\times\text{hauteur}$).

Partie B. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, à une distance de $9$ m du sommet $S$.
2) La section est un carré, homothétique de la base par une homothétie de centre $S$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie (distance au sommet de la section / hauteur totale) ?
3) En déduire le côté du carré-section, puis son aire.
4) En déduire le volume de la petite pyramide comprise entre $S$ et le plan de section (rappel : le volume est multiplié par $k^3$).

\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 6 cm : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont situés respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([FG]\).

1) Démontre que les droites \((IJ)\) et \((AC)\) sont parallèles et calcule la longueur \(IJ\).

2) Justifie que la droite \((JK)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). Déduis-en que \((JK)\) est orthogonale à \((IJ)\) et donne la longueur \(JK\).

3) En utilisant les plans parallèles \((ABC)\) et \((EFG)\), démontre que le plan \((IJK)\) coupe la face \(EFGH\) selon la parallèle à \((IJ)\) passant par \(K\), et que cette droite coupe \([EF]\) en son milieu \(L\).

4) Quelle est la nature de la section \(IJKL\) du cube par le plan \((IJK)\) ? Calcule son aire exacte puis arrondie au centième.

5) Le plan \((IJK)\) partage le cube en deux solides. Calcule le volume de chacun d'eux.

Un grenier est formé d'un cylindre de révolution de rayon 2 m et de hauteur 2,5 m, surmonté d'un toit en forme de cône de révolution de même rayon 2 m et de hauteur 1,5 m. Le sol est horizontal et l'axe commun du cylindre et du cône est vertical.

1) Calcule le volume de la partie cylindrique, celui du cône, puis le volume total du grenier (valeurs exactes, puis arrondies au centième).

2) Justifie que l'axe du cône est orthogonal au rayon de sa base, puis calcule la longueur \(\ell\) d'une génératrice du cône.

3) L'aire latérale d'un cône de rayon \(R\) et de génératrice \(\ell\) vaut \(\pi R\ell\). Le toit est couvert de paille qui coûte 3 000 francs le m². Calcule le coût de la couverture, arrondi au franc.

4) On installe un plancher horizontal à 3,25 m du sol. Justifie que ce plancher coupe le cône selon un disque dont le centre est sur l'axe, et calcule le rayon et l'aire de ce disque.

5) Calcule le volume du petit cône situé au-dessus du plancher. Montre qu'il vaut le huitième du volume du toit et explique pourquoi.

\(ABCD\) est un tétraèdre. On note \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AC]\) et \(K\) le point de \([AD]\) tel que \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\). On note \(L\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(B\), et \(M\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(C\).

1) Démontre que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).

2) Exprime \(\overrightarrow{IK}\) et \(\overrightarrow{IL}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Démontre que \(\overrightarrow{IL}=-3\,\overrightarrow{IK}\) et déduis-en que \(L\) est le point d'intersection des droites \((IK)\) et \((BD)\).

3) Par un calcul analogue, justifie que \(M\) est le point d'intersection des droites \((JK)\) et \((CD)\).

4) Déduis-en l'intersection des plans \((IJK)\) et \((BCD)\). Démontre que \(\overrightarrow{LM}=2\,\overrightarrow{BC}\) et interprète en lien avec la question 1.

5) Détermine la section du tétraèdre \(ABCD\) par le plan \((IJK)\).

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit avec \(AB=8\) cm, \(AD=6\) cm et \(AE=4\) cm (\(ABCD\) est la face du bas, \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)). On le dessine en perspective cavalière avec la face \(ABFE\) dans le plan frontal, un angle de fuite de 45° et un coefficient de réduction de 0,5 pour les fuyantes.

1) Donne les longueurs de \([AB]\), \([AE]\) et \([AD]\) sur le dessin. Quelles faces sont représentées en vraie grandeur ? Comment est représentée la face \(ABCD\) ?

2) Calcule la longueur réelle \(BD\). Explique pourquoi on ne peut pas la mesurer directement sur le dessin.

3) Démontre que la droite \((BF)\) est orthogonale à la droite \((BD)\). Déduis-en la nature du quadrilatère \(BDHF\) et son aire.

4) Calcule la longueur réelle de la diagonale \([BH]\) du pavé (valeur exacte puis arrondie au centième).

5) Le plan \((BDH)\) partage le pavé en deux solides. Justifie qu'ils ont le même volume et calcule ce volume.