Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0;6]\) par \(f(x)=-x^2+6x-5\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Démontre que pour tout réel \(x\) de \([0;6]\), on a \(f(x)=4-(x-3)^2\).

2) Calcule les images de 0, de 3 et de 6 par \(f\). Détermine ensuite les antécédents éventuels de 0 par \(f\).

3) Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \([0;6]\). Démontre que \(f(b)-f(a)=(a-b)(a+b-6)\). Déduis-en que \(f\) est croissante sur \([0;3]\) et décroissante sur \([3;6]\).

4) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0;6]\), puis donne le maximum et le minimum de \(f\) en précisant en quels réels ils sont atteints.

5) Résous dans \([0;6]\) l'inéquation \(f(x)\ge 3\), puis interprète graphiquement le résultat à l'aide de la droite d'équation \(y=3\).

Un maraîcher dispose de 40 m de grillage pour clôturer un jardin rectangulaire adossé au mur de sa concession : le côté le long du mur n'a pas besoin de grillage. On note \(x\) (en m) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur ; le côté parallèle au mur mesure alors \(40-2x\) mètres. On note \(A(x)\) l'aire du jardin en m².

1) Justifie que \(x\) appartient à l'intervalle \(]0;20[\) et exprime \(A(x)\) en fonction de \(x\).

2) Démontre que pour tout \(x\) de \(]0;20[\), \(A(x)=200-2(x-10)^2\).

3) Démontre que \(A\) est croissante sur \(]0;10]\) et décroissante sur \([10;20[\).

4) Déduis-en l'aire maximale que le maraîcher peut obtenir et les dimensions correspondantes du jardin.

5) Le maraîcher souhaite un jardin d'au moins 150 m². Détermine les valeurs possibles de \(x\) et interprète en termes de longueur du côté parallèle au mur.

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\).

1) Détermine l'ensemble de définition de \(f\). Démontre que \(f\) est impaire et interprète graphiquement.

2) Démontre que pour tout réel \(x\), \(f(x)-\frac{1}{2}=\frac{-(x-1)^2}{2(x^2+1)}\). Déduis-en que \(f\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}\), puis, en utilisant l'imparité, que \(f\) admet un minimum. Précise leurs valeurs et où ils sont atteints.

3) Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Démontre que \(f(b)-f(a)=\frac{(b-a)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\). Déduis-en que \(f\) est croissante sur \([0;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\).

4) À l'aide de l'imparité, déduis-en le sens de variation de \(f\) sur \([-1;0]\) et sur \(]-\infty;-1]\), puis dresse le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

5) Détermine les antécédents de \(\frac{2}{5}\) par \(f\), puis ceux de \(-\frac{2}{5}\). Vérifie la cohérence avec le tableau de variation.

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\), périodique de période 4, telle que \(g(x)=|x|\) pour tout \(x\) de \([-2;2]\). Pour tout réel \(x\), on a donc \(g(x+4)=g(x)\).

1) Calcule \(g(1)\), \(g\left(-\frac{3}{2}\right)\), \(g(7)\), \(g(-9)\) et \(g(2026)\).

2) Démontre que \(g\) est paire. Interprète graphiquement.

3) Justifie que pour tout \(x\) de \([2;6]\), \(g(x)=|x-4|\). Exprime \(g(x)\) sans valeur absolue sur \([2;4]\) puis sur \([4;6]\), et déduis-en le sens de variation de \(g\) sur \([2;6]\).

4) Détermine le maximum et le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\), ainsi que l'ensemble des réels en lesquels ils sont atteints.

5) Résous dans \([0;8]\) l'équation \(g(x)=\frac{1}{2}\), puis l'inéquation \(g(x)\le\frac{1}{2}\).