Fonctions de référence

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire   b) impaire   c) ni paire ni impaire   d) périodique

2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$   b) $[0;+\infty[$   c) $\mathbb{R}^*$   d) $]-\infty;0]$

3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$   b) croissante sur $\mathbb{R}$   c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement   d) ni croissante ni décroissante

4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite   b) une translation de $5$ vers la gauche   c) une dilatation de rapport $5$   d) une symétrie

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.

Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?

Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).

1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.

Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.

Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.

Une société de distribution d'eau facture chaque mois un abonnement fixe de 1 000 F, puis la consommation par tranches : 200 F le m³ pour les 10 premiers m³, 300 F le m³ pour les m³ compris entre 10 et 30, et 500 F le m³ au-delà de 30 m³. On note \(f(x)\) le montant de la facture (en F) pour une consommation de \(x\) m³, avec \(x\in[0;50]\).

1) Calcule le montant de la facture pour 8 m³, pour 25 m³ et pour 40 m³.

2) Démontre que \(f(x)=1000+200x\) sur \([0;10]\), \(f(x)=300x\) sur \([10;30]\) et \(f(x)=500x-6000\) sur \([30;50]\).

3) Justifie que \(f\) est croissante sur \([0;50]\) et interprète la pente de chaque morceau.

4) Un ménage a payé 12 000 F. Détermine sa consommation.

5) Une société concurrente propose un tarif sans abonnement de 350 F le m³, soit \(g(x)=350x\). Détermine les consommations \(x\) de \([0;50]\) pour lesquelles l'offre concurrente est au moins aussi avantageuse, c'est-à-dire \(g(x)\le f(x)\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\), et on note \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).

1) Démontre que pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=2+\frac{3}{x-1}\).

2) Explique comment on obtient \(\mathcal{C}\) à partir de la courbe de la fonction inverse \(x\mapsto\frac{1}{x}\), en précisant la transformation d'échelle et la translation utilisées.

3) Démontre que \(f\) est décroissante sur \(]1;+\infty[\), puis sur \(]-\infty;1[\).

4) Résous l'inéquation \(f(x)\ge 5\).

5) Démontre que pour tout réel \(h\neq 0\), \(f(1+h)+f(1-h)=4\). Interprète ce résultat pour la courbe \(\mathcal{C}\) et le point \(I(1;2)\).

On note \(\mathcal{P}\) la courbe de la fonction carré, \(\mathcal{R}\) celle de la fonction racine carrée et \(\Delta\) la droite d'équation \(y=x\), dans un même repère orthonormé.

1) Démontre que pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(0\le a\lt b\), \(\sqrt{b}-\sqrt{a}=\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\). Déduis-en le sens de variation de la fonction racine carrée sur \([0;+\infty[\).

2) Démontre que pour tout \(x\in\,]0;1[\), \(x^2\lt x\lt\sqrt{x}\), et que pour tout \(x\gt 1\), \(\sqrt{x}\lt x\lt x^2\). Interprète en termes de positions relatives de \(\mathcal{P}\), \(\Delta\) et \(\mathcal{R}\).

3) Résous dans \([0;+\infty[\) l'équation \(\sqrt{x}=x-2\) en posant \(X=\sqrt{x}\).

4) Résous dans \([0;+\infty[\) l'inéquation \(\sqrt{x}\gt x-2\), puis interprète graphiquement avec la droite d'équation \(y=x-2\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4x+3\), de courbe \(\mathcal{C}_f\), et la fonction \(g\) définie par \(g(x)=|f(x)|\), de courbe \(\mathcal{C}_g\).

1) Démontre que \(f(x)=(x-2)^2-1\). Déduis-en que \(\mathcal{C}_f\) est l'image de la parabole d'équation \(y=x^2\) par une translation dont tu préciseras le vecteur.

2) Donne le sens de variation de \(f\) et son minimum. Résous \(f(x)=0\), puis étudie le signe de \(f(x)\).

3) Exprime \(g(x)\) sans valeur absolue selon les valeurs de \(x\). Explique comment on construit \(\mathcal{C}_g\) à partir de \(\mathcal{C}_f\).

4) Dresse le tableau de variation de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

5) Selon les valeurs du réel \(m\), détermine le nombre de solutions de l'équation \(g(x)=m\). Résous en particulier \(g(x)=1\).