Fonctions circulaires

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $\dfrac{\sqrt3}2$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $1$

2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $-\dfrac12$   c) $\dfrac{\sqrt3}2$   d) $-\dfrac{\sqrt3}2$

3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$   b) $-\cos x$   c) $\sin x$   d) $-\sin x$

4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$   b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement   c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$   d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?

Exercice supplémentaire. Un artisan fabrique une roue décorative à 12 rayons régulièrement espacés (angle de $30°$ entre deux rayons consécutifs).

1) Convertir $30°$ en radians.
2) Calculer $\cos(150°)$ et $\sin(150°)$ à l'aide des angles associés ($150°=180°-30°$).
3) Un rayon fait un angle de $240°$ avec l'horizontale : donner les coordonnées de son extrémité sur le cercle trigonométrique.

Problème. Un artisan fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).

Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.

Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.

Dans cet exercice, tous les calculs doivent être faits en valeur exacte, à l'aide du cercle trigonométrique et des angles associés.

1) Calcule le cosinus et le sinus de \(\frac{5\pi}{6}\), de \(-\frac{2\pi}{3}\) et de \(\frac{7\pi}{4}\).

2) Détermine la mesure principale de \(\frac{29\pi}{6}\) et celle de \(-\frac{31\pi}{4}\), puis déduis-en leurs cosinus et sinus.

3) Démontre que pour tout réel \(x\), \(A(x)=\sin(\pi-x)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos(-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\cos x\), puis calcule \(A\left(\frac{29\pi}{6}\right)\).

4) On admet que \(\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\). Calcule \(\sin\frac{\pi}{8}\) en justifiant son signe, puis déduis-en \(\cos\frac{3\pi}{8}\), \(\cos\frac{5\pi}{8}\) et \(\cos\frac{7\pi}{8}\).

5) Démontre que \(S=\cos\frac{\pi}{8}+\cos\frac{3\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\cos\frac{7\pi}{8}=0\) et que \(T=\cos^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{3\pi}{8}+\cos^2\frac{5\pi}{8}+\cos^2\frac{7\pi}{8}=2\).

Une noria est une grande roue à godets qui puise l'eau d'un canal pour irriguer des champs. La roue a un rayon de 3 m, son axe est situé à 1,5 m au-dessus de la surface de l'eau et elle fait un tour complet en 12 secondes. À l'instant \(t=0\), un seau est au point le plus bas de la roue. On admet que la hauteur du seau par rapport à la surface de l'eau (en m, négative sous l'eau) est, pour \(t\in[0;12]\) en secondes : \(h(t)=1{,}5-3\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\).

1) Calcule \(h(0)\), \(h(3)\), \(h(6)\) et \(h(12)\), puis interprète chaque résultat.

2) Démontre que pour tout \(t\in[0;12]\), \(h(12-t)=h(t)\). Interprète ce résultat.

3) En posant \(x=\frac{\pi t}{6}\), étudie le sens de variation de \(h\) sur \([0;6]\) puis sur \([6;12]\). Donne le maximum et le minimum de \(h\).

4) Détermine pendant combien de secondes, au cours d'un tour, le seau est hors de l'eau.

5) Le seau se déverse dans une gouttière tant que sa hauteur est d'au moins 3 m. Détermine l'intervalle de temps correspondant sur un tour et sa durée.

On considère l'équation \((E)\) : \(2\cos^2x-\cos x-1=0\), d'inconnue réelle \(x\).

1) Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations \(\cos x=1\) et \(\cos x=-\frac{1}{2}\).

2) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(2X^2-X-1=0\) et factorise le trinôme \(2X^2-X-1\).

3) Déduis-en les solutions de \((E)\) dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(]-\pi;\pi]\). Place les points correspondants sur le cercle trigonométrique et décris la figure obtenue.

4) Résous dans \(]-\pi;\pi]\) l'inéquation \(2\cos^2x-\cos x-1\lt 0\).

5) Démontre que l'équation \(2\sin^2x+\cos x-1=0\) est équivalente à \((E)\), et déduis-en ses solutions dans \(]-\pi;\pi]\).

On travaille sur le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé. À tout réel \(x\), on associe le point \(M(x)\) de coordonnées \((\cos x;\sin x)\).

1) Justifie que pour tout réel \(x\), \(\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\). Déduis-en les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l'équation \(\cos x=\sin x\).

2) Donne les solutions de cette équation dans \(]-\pi;\pi]\) et décris la position des points images sur le cercle.

3) Résous dans \(]-\pi;\pi]\) l'inéquation \(\sin x\gt\cos x\), en interprétant la condition à l'aide de la droite d'équation \(y=x\).

4) Résous dans \(]-\pi;\pi]\) l'inéquation \(\sin x\ge\frac{1}{2}\).

5) Déduis-en l'ensemble des réels \(x\) de \(]-\pi;\pi]\) qui vérifient à la fois \(\sin x\ge\frac{1}{2}\) et \(\sin x\gt\cos x\). Vérifie ton résultat avec \(x=\frac{\pi}{6}\) et \(x=\frac{\pi}{2}\).