Équations et inéquations du second degré

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$   b) $49$   c) $-1$   d) $25$

2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$   b) $-1$ et $-2$   c) $2$ et $-1$   d) $3$ et $-1$

3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$   b) $(x-2)^2+3$   c) $(x+2)^2-3$   d) $(x-4)^2+1$

4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif   b) négatif   c) nul   d) indéterminé

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Exercice supplémentaire. On considère $R(x)=x^2-2x+5$.

1) Calculer le discriminant de $R$.
2) Que peut-on en conclure sur les racines réelles de $R$ ?
3) Étudier le signe de $R(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (indication : forme canonique).

Problème. On considère $Q(x)=2x^2-x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$, puis factoriser $Q(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $Q(x)\le0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $Q$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\), défini pour tout réel \(x\). Le but est de le factoriser complètement pour étudier son signe.

1) Calcule \(P(1)\). Justifie que \(P(x)\) est factorisable par \((x-1)\).

2) Détermine les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(x\), \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\).

3) Résous l'équation \(x^2-x-6=0\) à l'aide du discriminant, puis écris \(P(x)\) comme produit de trois facteurs du premier degré.

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\).

5) Déduis-en l'ensemble des solutions de l'inéquation \(x^3-2x^2\le 5x-6\).

Une vannière fabrique et vend chaque jour \(x\) paniers, avec \(0\le x\le 20\). Son bénéfice journalier, en centaines de francs, est \(B(x)=-x^2+24x-80\).

1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(B(x)=-(x-12)^2+64\).

2) Déduis-en le nombre de paniers qui donne le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice en francs. Justifie.

3) En utilisant la forme canonique, factorise \(B(x)\).

4) Pour combien de paniers la vannière ne travaille-t-elle pas à perte, c'est-à-dire \(B(x)\ge 0\) ?

5) Elle souhaite gagner au moins 2 800 francs par jour. Montre que cela revient à \(|x-12|\le 6\), puis donne les nombres de paniers possibles.

On pose \(N(x)=x^2+x-6\), \(D(x)=-x^2+2x+3\) et \(F(x)=\frac{N(x)}{D(x)}\).

1) Calcule le discriminant de \(N(x)\), détermine ses racines et factorise \(N(x)\).

2) Fais de même pour \(D(x)\). Déduis-en l'ensemble de définition de \(F\).

3) Dresse le tableau de signes de \(F(x)\) et résous l'inéquation \(F(x)\ge 0\).

4) Démontre que, pour tout \(x\) de l'ensemble de définition, \(F(x)+1=\frac{3(x-1)}{D(x)}\). Déduis-en les solutions de l'inéquation \(F(x)\ge -1\).

Des élèves louent un car pour une sortie pédagogique ; la location coûte 36 000 francs, partagés à parts égales. Au dernier moment, 6 élèves de plus se joignent au groupe, et la part de chacun diminue de 200 francs. On note \(n\) le nombre d'élèves prévu au départ.

1) Exprime, en fonction de \(n\), la part prévue de chaque élève puis la part réelle.

2) Démontre que \(n\) vérifie l'équation \(n^2+6n-1080=0\).

3) Écris \(n^2+6n-1080\) sous forme canonique, puis factorise-le.

4) Résous l'équation à l'aide du discriminant et justifie qu'une seule solution convient au problème.

5) Donne le nombre final d'élèves et la part réelle de chacun, puis vérifie la cohérence avec l'énoncé.