Calcul dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$   b) $10$ et $2$   c) $-10$ et $2$   d) $6$ et $-6$

2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$   b) $[-4;5]$   c) $[-9;9]$   d) $[-10;8]$

3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$   b) $[4{,}3;4{,}7]$   c) $[3{,}1;3{,}2]$   d) $[1{,}4;1{,}5]$

4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$   b) $[-2;8]$   c) $\,]8;+\infty[$   d) $\,]-\infty;-2[$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sachant $0\le x<1$, le bon classement de $x$, $x^2$ et $\sqrt x$ est :
a) $x^2<x<\sqrt x$   b) $\sqrt x<x<x^2$   c) $x<x^2<\sqrt x$   d) $\sqrt x<x^2<x$

2) La distance entre $-7$ et $4$ vaut :
a) $11$   b) $-3$   c) $3$   d) $-11$

3) Sachant $|x-5|\le2$, l'intervalle correspondant est :
a) $[3;7]$   b) $[-3;7]$   c) $[3;-7]$   d) $\,]3;7[$

4) Pour $E=\,]2;6]$, le réel $6$ est :
a) un majorant de $E$, et c'est son maximum   b) un majorant de $E$, mais pas son maximum   c) un minorant de $E$   d) ni majorant ni minorant de $E$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un menuisier fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.

Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.

Exercice supplémentaire. Un pisciculteur doit maintenir la température de son bassin à $26°C$ à $\pm1{,}5°C$ près.

1) Écrire cette contrainte avec une valeur absolue, $x$ désignant la température.
2) Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des températures acceptables.
3) Si de plus le taux d'oxygène $y$ vérifie $5\le y\le8$ (mg/L), encadrer $x+y$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse sait que la consommation de son véhicule est comprise entre $7{,}5$ et $8{,}2$ litres aux $100$ km selon l'état de la route, et que le prix du litre d'essence varie entre $750$ et $780$ F selon la station-service.

Consigne : En utilisant les propriétés des encadrements de réels strictement positifs, encadrer le coût en carburant pour un trajet de $100$ km, puis en déduire un encadrement du coût pour un trajet de $250$ km.

Exercice supplémentaire. Un artisan dispose de barres de fer dont la longueur $x$ (en mètres) vérifie $2\le x\le5$.

1) Donner un majorant et un minorant de cet ensemble de longueurs.
2) Deux barres de longueurs $x_1$ et $x_2$ vérifient les mêmes contraintes : encadrer $x_1+x_2$ puis $x_1-x_2$.
3) L'artisan affirme que $|x_1-x_2|$ ne dépasse jamais $3$ m. A-t-il raison ?

Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.

On considère deux nombres réels \(x\) et \(y\) tels que \(2\le x\le 3\) et \(1\le y\le 2\). On pose \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\). Le but est de trouver le meilleur encadrement possible de \(A\).

1) Donne un encadrement de \(x+y\).

2) Donne un encadrement de \(x-y\) en justifiant chaque étape.

3) Donne un encadrement de \(xy\), puis de \(\frac{1}{xy}\).

4) Démontre que \(A=\frac{x+y}{xy}\). En utilisant les résultats des questions 1 et 3, déduis-en un premier encadrement de \(A\).

5) Encadre directement \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{y}\), puis déduis-en un second encadrement de \(A\). Compare les amplitudes des deux encadrements et interprète.

Un grossiste vend des sacs de riz dont la masse annoncée est de 50 kg. À la réception, un sac de masse \(m\) (en kg) est accepté si et seulement si \(|m-50|\le 0{,}4\).

1) Traduis la condition d'acceptation par un intervalle, puis interprète-la en termes de distance.

2) Quatre sacs pèsent respectivement 49,5 kg ; 50,3 kg ; 50,45 kg et 49,62 kg. Lesquels sont acceptés ? Justifie.

3) On note \(m_1\) et \(m_2\) les masses de deux sacs acceptés. Démontre que \(|m_1-m_2|\le 0{,}8\) et interprète ce résultat.

4) Un lot est formé de 10 sacs acceptés, de masse totale \(M\). Démontre que \(|M-500|\le 4\) et donne l'intervalle auquel appartient \(M\).

5) Un client veut être certain de recevoir au moins 500 kg de riz en achetant uniquement des sacs acceptés. Quel est le nombre minimal de sacs qu'il doit acheter ?

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(a_n=\frac{2n+1}{n+1}\), et on note \(A\) l'ensemble de tous ces nombres : \(A=\{a_0;a_1;a_2;\dots\}\).

1) Calcule \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\).

2) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n=2-\frac{1}{n+1}\).

3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(1\le a_n\lt 2\).

4) Déduis-en que \(A\) admet un minimum que tu préciseras, que 2 est un majorant de \(A\) et que \(A\) n'a pas de maximum égal à 2.

5) On prend \(a=1{,}99\). Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\gt 1{,}99\). Qu'en déduis-tu pour le nombre 1,99 ? Interprète.

ABC est un triangle rectangle en A tel que \(AB=1\) m et \(AC=\sqrt{2}\) m. On admet les encadrements \(1{,}414\lt\sqrt{2}\lt 1{,}415\) et \(1{,}732\lt\sqrt{3}\lt 1{,}733\).

1) Calcule la longueur exacte \(BC\).

2) Donne un encadrement du périmètre \(P\) du triangle ABC.

3) Donne un encadrement de \(d=BC-AC\) à l'aide des encadrements donnés.

4) Démontre que \(d=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\). Déduis-en un encadrement de \(d\) d'amplitude \(3\times 10^{-4}\).

5) Donne la valeur approchée par défaut de \(d\) à \(10^{-3}\) près, puis l'arrondi de \(d\) au millième. L'encadrement de la question 3 permettait-il de trouver cet arrondi ? Justifie.