Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

1) Résous par substitution le système \(\begin{cases}4x-y=7\\3x+2y=19\end{cases}\).

2) Montre que le système \(\begin{cases}2x-4y=6\\-x+2y=1\end{cases}\) n'a aucune solution, et interprète graphiquement.

3) Montre que le système \(\begin{cases}x+2y=3\\3x+6y=9\end{cases}\) a une infinité de solutions, et donne-en deux.

Un cinéma a vendu \(250\) billets pour une séance. Un billet adulte coûte \(1\,500\) F et un billet enfant \(1\,000\) F. La recette totale est de \(325\,000\) F. On note \(x\) le nombre de billets adultes et \(y\) le nombre de billets enfants.

1) Traduis l'énoncé par un système de deux équations.

2) Résous ce système.

3) Vérifie ta réponse et donne le nombre de billets de chaque sorte.

4) Pour la séance suivante, le gérant veut une recette d'au moins \(350\,000\) F avec toujours \(250\) billets vendus. Combien de billets adultes doit-il vendre au minimum ?

On veut résoudre le système \((S)\ \begin{cases}\dfrac2x+\dfrac3y=2\\\dfrac4x-\dfrac3y=1\end{cases}\), avec \(x\neq0\) et \(y\neq0\).

1) On pose \(X=\dfrac1x\) et \(Y=\dfrac1y\). Écris le système vérifié par \(X\) et \(Y\).

2) Résous ce nouveau système.

3) Déduis-en les solutions de \((S)\).

4) Vérifie ta réponse dans les deux équations de \((S)\).

Pour sa fête de fin d'année, un club de lecture achète des tee-shirts à 2 500 francs l'unité et des casquettes à 1 500 francs l'unité. Il achète en tout 40 articles et paie 84 000 francs. On note \(x\) le nombre de tee-shirts et \(y\) le nombre de casquettes.

1) Traduis l'énoncé par un système de deux équations d'inconnues \(x\) et \(y\), puis montre que la seconde équation peut s'écrire \(5x+3y=168\).

2) Résous ce système par la méthode de ton choix.

3) Vérifie ta solution en recalculant le nombre d'articles et le montant payé, puis interprète-la.

4) L'année suivante, les prix n'ont pas changé. Le club veut au moins 30 articles sans dépenser plus de 60 000 francs. Justifie que ces deux contraintes s'écrivent \(x+y\geq 30\) et \(5x+3y\leq 120\). Les couples \((12\,;20)\) et \((15\,;16)\) sont-ils solutions de ce système d'inéquations ?

5) Le club décide finalement d'acheter exactement 30 articles. Montre que la contrainte de dépense devient \(x\leq 15\), puis donne le plus grand nombre possible de tee-shirts et la dépense correspondante.

Dans le plan muni d'un repère d'origine O, on considère le système \((S)\) formé des deux inéquations \(x+2y\leq 8\) et \(3x-y\geq 3\). On note \((D_1)\) la droite d'équation \(x+2y=8\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(3x-y=3\).

1) Les couples de coordonnées des points \(A(3\,;1)\), \(B(1\,;2)\) et \(C(4\,;2)\) sont-ils solutions du système \((S)\) ? Justifie chaque réponse par un calcul.

2) Pour tracer chacune des droites \((D_1)\) et \((D_2)\), donne deux de ses points à coordonnées entières.

3) En testant les coordonnées du point O, indique pour chaque inéquation quel demi-plan représente l'ensemble de ses solutions.

4) Calcule les coordonnées du point d'intersection I des droites \((D_1)\) et \((D_2)\). Le couple de coordonnées de I est-il solution de \((S)\) ? Justifie.

5) Décris l'ensemble des solutions de \((S)\) sur le graphique, puis détermine tous les points de l'axe des abscisses dont les coordonnées sont solutions de \((S)\).

Un menuisier fabrique des tabourets sculptés et des bancs. Un tabouret demande 2 heures de travail et 1 planche ; un banc demande 1 heure de travail et 2 planches. Pour une commande, il dispose de 16 heures de travail et de 14 planches. Il gagne 3 milliers de francs par tabouret et 2 milliers de francs par banc. On note \(x\) le nombre de tabourets et \(y\) le nombre de bancs fabriqués ; ce sont des entiers positifs ou nuls.

1) Traduis les contraintes de temps et de planches par un système de deux inéquations d'inconnues \(x\) et \(y\).

2) Le menuisier peut-il fabriquer 5 tabourets et 4 bancs ? Et 7 tabourets et 3 bancs ? Justifie.

3) Calcule les coordonnées du point d'intersection I des droites d'équations \(2x+y=16\) et \(x+2y=14\).

4) Dans un repère, les couples qui respectent toutes les contraintes sont représentés par des points du quadrilatère de sommets \(O(0\,;0)\), \(A(8\,;0)\), I et \(B(0\,;7)\). Vérifie que les couples de coordonnées de A et de B respectent les deux contraintes, puis calcule le gain \(g=3x+2y\), en milliers de francs, en chacun des quatre sommets.

5) On admet que le gain le plus élevé est obtenu en l'un des sommets du quadrilatère. Quelle production le menuisier doit-il choisir ? Interprète ce choix en comparant avec la production de 5 tabourets et 4 bancs, et en examinant les heures et les planches utilisées.

On cherche un polynôme du second degré de la forme \(P(x)=ax^2+bx-10\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels à déterminer. On dispose de deux renseignements : \(P(2)=0\) et \(P(1)=-9\).

1) Montre que les nombres \(a\) et \(b\) vérifient le système formé des équations \(2a+b=5\) et \(a+b=1\).

2) Résous ce système.

3) Écris l'expression de \(P(x)\), puis vérifie qu'elle respecte bien les deux renseignements.

4) Calcule le discriminant de \(P\) et détermine ses zéros. Explique pourquoi on était certain de trouver le nombre 2 parmi eux.

5) Donne le signe de \(P(x)\) selon les valeurs de \(x\), puis résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x)\leq 0\).