Première A1 · Leçon 5
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (19 points)
- Identifier - une suite définie par une formule explicite
- une suite définie par une formule de récurrence
- une suite définie par la donnée de tous ses termes
- une suite définie par sa représentation graphique
- Connaître - la définition d’une suite numérique
- la définition d’une suite arithmétique
- la définition d’une suite géométrique
- Calculer - un terme d’une suite connaissant sa formule explicite
- un terme d’une suite connaissant le premier terme et la formule de récurrence
- la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique
- la somme des n premiers termes d’une suite géométrique
- Déterminer - la raison d’une suite arithmétique
- la raison d’une suite géométrique
- Justifier - qu’une suite est arithmétique
- qu’une suite est géométrique
- Représenter - graphiquement des termes d’une suite définie par la donnée de tous ses termes.
- graphiquement des termes d’une suite définie par une formule explicite.
- graphiquement des termes d’une suite définie par une formule de récurrence.
- Traiter une situation faisant appel aux suites numériques
Source : Programme éducatif Première A1, DPFC, version CND 0923
Suites : définition, modes de génération
Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) (l'indice, ou rang) un nombre réel \(u_n\) (le terme de rang \(n\)). Deux façons usuelles de la définir :
• à partir d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb N\) :
\(u_n=f(n)\) pour tout \(n\) ;
• par récurrence : on donne \(u_0\), puis une relation
permettant de calculer \(u_{n+1}\) à partir de \(u_n\).
Suite \(u_n=f(n)\). Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\). Alors \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_5=11\).
Suite récurrente. \(u_0=1\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+1\). On calcule de proche en proche : \(u_1=2\times1+1=3\), \(u_2=2\times3+1=7\), \(u_3=2\times7+1=15\), \(u_4=2\times15+1=31\).
Figure — Nuage de points de la suite récurrente \(u_0=1\), \(u_{n+1}=2u_n+1\)
Chaque terme double presque : la suite croît très rapidement, contrairement à une suite arithmétique (voir chapitre suivant).
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Un capital placé à la banque, une population qui évolue d'une année sur l'autre, le niveau d'eau d'un réservoir que l'on remplit et vide chaque jour : dans toutes ces situations, on ne connaît pas directement la valeur à une date quelconque, mais on sait passer d'une valeur à la suivante. C'est exactement ce que décrit une suite définie par récurrence.
Soit \(f\) une fonction. Une suite \((u_n)\) est définie par récurrence lorsque l'on donne :
- son premier terme, par exemple \(u_0\) ;
- une relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), valable pour tout entier naturel \(n\), qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
Les termes s'obtiennent alors de proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), puis \(u_2=f(u_1)\), puis \(u_3=f(u_2)\), et ainsi de suite.
Deux façons de définir une suite, à ne pas confondre. Avec une formule explicite \(u_n=g(n)\), on calcule directement n'importe quel terme à partir de son rang : pour \(u_n=n^2-2\), on a tout de suite \(u_{10}=98\). Avec une relation de récurrence, on applique la fonction au terme précédent, pas au rang : pour obtenir \(u_{10}\), il faut d'abord calculer \(u_1\), \(u_2\), …, \(u_9\).
Des suites déjà connues. Une suite arithmétique de raison \(r\) est définie par \(u_{n+1}=u_n+r\) : c'est une suite récurrente, avec \(f(x)=x+r\). Une suite géométrique de raison \(q\) est définie par \(u_{n+1}=q\,u_n\), avec \(f(x)=qx\).
Calculer les premiers termes. On part du premier terme et l'on applique la relation autant de fois qu'il le faut, en présentant les résultats dans un tableau à deux lignes (le rang \(n\), le terme \(u_n\)). À la calculatrice, on saisit le premier terme, puis on répète le même calcul sur le dernier résultat.
Traduire une situation. On appelle \(u_n\) la quantité étudiée à l'étape \(n\) et l'on écrit ce qui se passe entre l'étape \(n\) et l'étape \(n+1\). Une augmentation de 5 % multiplie par 1,05 ; un ajout fixe s'additionne.
Étudier le sens de variation. On calcule la différence \(u_{n+1}-u_n\) en remplaçant \(u_{n+1}\) par \(f(u_n)\), et l'on étudie son signe. Si elle est positive pour tout \(n\), la suite est croissante ; si elle est négative pour tout \(n\), la suite est décroissante.
Cas d'une suite constante. Si le premier terme \(u_0\) est une solution de l'équation \(f(x)=x\), alors \(u_1=f(u_0)=u_0\), puis \(u_2=u_0\), etc. : tous les termes sont égaux à \(u_0\).
Énoncé. a) La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\). Calculer \(u_1\) à \(u_5\), puis étudier le sens de variation de la suite. b) On place 100 000 francs sur un compte qui rapporte 5 % par an, et l'on y ajoute 20 000 francs à la fin de chaque année. On note \(c_n\) le capital après \(n\) années. Écrire la relation de récurrence et calculer \(c_3\).
Solution : a) \(u_1=2\times 1+3=5\) ; \(u_2=2\times 5+3=13\) ; \(u_3=2\times 13+3=29\) ; \(u_4=2\times 29+3=61\) ; \(u_5=2\times 61+3=125\).
Pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_n=2u_n+3-u_n=u_n+3\). Or tous les termes sont positifs : le premier l'est, et chaque terme s'obtient à partir du précédent en le multipliant par 2 et en ajoutant 3. Donc \(u_{n+1}-u_n\gt 0\) : la suite est croissante.
b) Chaque année, le capital est multiplié par 1,05, puis augmenté de 20 000 : \(c_0=100\,000\) et \(c_{n+1}=1{,}05\,c_n+20\,000\). On calcule \(c_1=125\,000\), \(c_2=1{,}05\times 125\,000+20\,000=151\,250\), puis \(c_3=1{,}05\times 151\,250+20\,000=178\,812{,}5\). Après trois ans, le capital est de 178 812,5 francs.
Première représentation : les points \((n\,;u_n)\). On place dans un repère les points d'abscisse le rang et d'ordonnée le terme. On ne les relie pas : une suite n'est définie que pour les entiers.
Seconde représentation : la construction « en escalier ». Elle place les termes sur l'axe des abscisses sans aucun calcul. On trace la courbe \(\mathcal C\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).
- On place \(u_0\) sur l'axe des abscisses.
- On monte (ou l'on descend) verticalement jusqu'à la courbe \(\mathcal C\) : le point atteint a pour ordonnée \(f(u_0)=u_1\).
- On se déplace horizontalement jusqu'à la droite \(\Delta\) : le point atteint a pour abscisse \(u_1\). On reporte \(u_1\) sur l'axe des abscisses.
- On recommence à partir de \(u_1\) pour obtenir \(u_2\), et ainsi de suite.
La droite \(\Delta\) sert à « rabattre » une ordonnée sur l'axe des abscisses. Les abscisses des points où \(\mathcal C\) coupe \(\Delta\) sont les solutions de \(f(x)=x\) : ce sont les valeurs de \(u_0\) pour lesquelles la suite est constante.
Figure — La construction en escalier pour u₀ = 1 et f(x) = 0,5x + 2
En bleu marine, la droite d'équation y = 0,5x + 2 (courbe de f) ; en or, la droite d'équation y = x. Le trajet bleu part de 1 sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe, rejoint horizontalement la droite dorée, et recommence. Les traits verticaux en pointillés reportent sur l'axe les termes 1 ; 2,5 ; 3,25 ; 3,625. Les marches se resserrent près du point d'intersection des deux droites, d'abscisse 4.
Énoncé. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). a) Calculer \(u_1\) à \(u_5\). b) Que suggère la construction en escalier de la figure ci-dessus ? c) Que devient la suite si l'on prend \(u_0=4\) ? et \(u_0=6\) ?
Solution : a) \(u_1=0{,}5\times 1+2=2{,}5\) ; \(u_2=0{,}5\times 2{,}5+2=3{,}25\) ; \(u_3=3{,}625\) ; \(u_4=3{,}8125\) ; \(u_5=3{,}90625\).
b) Les termes reportés sur l'axe des abscisses avancent vers la droite : la suite semble croissante. Les marches sont de plus en plus petites et les termes s'approchent de 4, abscisse du point d'intersection des deux droites, sans le dépasser. Le calcul du a) va dans le même sens. Ce sont des observations : le graphique ne constitue pas une démonstration.
c) L'équation \(f(x)=x\) s'écrit \(0{,}5x+2=x\), soit \(x=4\). Avec \(u_0=4\), on trouve \(u_1=0{,}5\times 4+2=4\), puis \(u_2=4\)… : la suite est constante. Avec \(u_0=6\), on obtient \(u_1=5\), \(u_2=4{,}5\), \(u_3=4{,}25\) : cette fois les termes diminuent en s'approchant de 4. Le premier terme change le comportement de la suite.
Figure — Les points (n ; uₙ) de la même suite
Les six premiers termes de la suite de l'exemple 2, représentés par les points de coordonnées (0 ; 1), (1 ; 2,5), (2 ; 3,25), (3 ; 3,625), (4 ; 3,8125) et (5 ; 3,90625). Les points montent de moins en moins vite et se rapprochent de la droite en pointillés d'équation y = 4. On ne relie pas les points.
Énoncé. On reprend la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-4\). a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. b) En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{10}\).
Solution : a) Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}-4=0{,}5\,u_n+2-4=0{,}5\,u_n-2=0{,}5\,(u_n-4)=0{,}5\,v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,5 ; son premier terme est \(v_0=u_0-4=-3\).
b) On en déduit \(v_n=-3\times 0{,}5^{\,n}\), puis \(u_n=v_n+4\), c'est-à-dire
\[u_n=4-3\times 0{,}5^{\,n}.\]Vérification : pour \(n=1\), la formule donne \(4-1{,}5=2{,}5\), valeur trouvée à l'exemple 2. Enfin \(u_{10}=4-\dfrac{3}{1024}\approx 3{,}997\). On a obtenu \(u_{10}\) sans calculer les neuf termes qui le précèdent : c'est tout l'intérêt d'une formule explicite. Le nombre 4 retranché n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de \(f(x)=x\).
Appliquer la fonction au rang. Pour \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=u_n^{\,2}-2\), on a \(u_1=3^2-2=7\) et \(u_2=7^2-2=47\). Écrire \(u_2=2^2-2=2\) revient à utiliser la formule explicite \(u_n=n^2-2\), qui définit une autre suite.
Confondre \(u_{n+1}\) et \(u_n+1\). \(u_{n+1}\) est le terme qui suit \(u_n\) ; \(u_n+1\) est le terme \(u_n\) augmenté de 1. Pour la suite de l'exemple 1, \(u_1=5\) alors que \(u_0+1=2\).
Oublier le premier terme. La relation de récurrence seule ne définit pas la suite : avec la même relation, \(u_0=1\), \(u_0=4\) et \(u_0=6\) donnent trois suites différentes (exemple 2).
Prendre une lecture graphique pour une preuve. Le graphique permet de conjecturer le sens de variation ; pour le démontrer, on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=u_n+r\) (on ajoute toujours la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0+p\,r. \]\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=q\times u_n\) (on multiplie toujours par la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0\times q^p. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Croissance arithmétique et géométrique comparées
Suite arithmétique \(u_0=2\), \(r=3\) (points navy) contre suite géométrique \(v_0=2\), \(q=2\) (points dorés) : même point de départ, croissances très différentes.
Pour une suite arithmétique, la somme des termes de rang \(0\) à \(n\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}2. \]Pour une suite géométrique de raison \(q\neq1\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}. \]Deux cas particuliers très utiles (avec premier terme \(1\)) :
\[ 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2, \qquad 1+a+a^2+\cdots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
Un premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) : chaque terme se calcule à partir du précédent.
De proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), \(u_2=f(u_1)\)… On ne remplace pas \(n\) dans \(f\).
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\).
Courbe de \(f\) et droite \(y=x\) : verticale jusqu'à la courbe, horizontale jusqu'à la droite.
Si \(f(u_0)=u_0\), tous les termes sont égaux à \(u_0\).
\(u_n=f(n)\), ou récurrence \(u_0\) donné + relation \(u_{n+1}=\ldots\).
Terme \(u_n\), indice/rang \(n\).
Calculer le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Récurrence comme raisonnement, suites majorées/minorées, limite.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
\(u_0=2\times0+1=1\), \(u_1=3\), \(u_5=2\times5+1=11\).
Question 2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n-1\). Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
\(u_1=3\times2-1=5\), \(u_2=3\times5-1=14\), \(u_3=3\times14-1=41\).
Question 3. Étudier le sens de variation de \(w_n=7-2n\).
\(w_{n+1}-w_n=7-2(n+1)-(7-2n)=-2<0\) : la suite est décroissante.
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