Première A1 · Leçon 1

Équations et inéquations dans ℝ

Ce que dit le programme officiel (13 points)

Identifier - un polynôme du second degré
Connaitre - la formule du discriminant
le signe d’un polynôme du second degré
les formules des zéros éventuels d’un polynôme du second degré
Calculer - le discriminant d’un polynôme du second degré
les zéros éventuels d’un polynôme du second degré
Factoriser - un polynôme du second degré en utilisant le discriminant
Déterminer - le signe d’un polynôme du second degré
Résoudre - des équations du type : 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥+𝑑 = 0
des inéquations du type : 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥+𝑑 ≥ 0 ou 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥+𝑑 > 0 , du type 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥+𝑑 ≤ 0 ou 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥+𝑑 < 0
des équations du second degré en utilisant le discriminant
des inéquations du second degré en utilisant le discriminant
des équations du type 𝑎𝑥^4 + 𝑏𝑥^2 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0)

Source : Programme éducatif Première A1, DPFC, version CND 0923

Équation du second degré : discriminant et racines

Rappel de Seconde

Forme canonique

Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :

\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]

Discriminant

Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).

\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.

Exemples gradués

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Signe du trinôme et inéquations du second degré

Rappel de Seconde

Signe du trinôme

Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Signe d'un produit, résolution d'une inéquation

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Exemple — Problème concret

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -1 \(c\) = -6