Première A1 · Leçon 2

Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ

Ce que dit le programme officiel (3 points)

Système d’équations du 1er degré dans ℝ × ℝ
Inéquations du 1er degré dans ℝ × ℝ
Système d’inéquations du 1er degré dans ℝ × ℝ

Source : Programme éducatif Première A1, DPFC, version CND 0923

Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Rappel de Seconde

L'objectif est double : connaître les différentes méthodes de résolution, et surtout savoir choisir la mieux adaptée à une situation — en particulier mettre en équations un problème concret. Tout se fait sur des exemples numériques.

Rappel — Système de deux équations à deux inconnues \[ \begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases} \]

Résoudre le système, c'est trouver le(s) couple(s) \((x,y)\) qui vérifient les deux équations à la fois.

Méthode — Substitution

Résoudre \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).

La première équation donne directement \(y\) en fonction de \(x\) : on substitue dans la seconde. \(3x+(2x-1)=9\), soit \(5x=10\), donc \(x=2\), puis \(y=3\).

Solution : \((x,y)=(2,3)\).

Méthode — Combinaison linéaire

Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=12\\5x-3y=9\end{cases}\).

Les coefficients de \(y\) sont opposés : on additionne directement les deux équations, ce qui élimine \(y\). \(2x+3y+5x-3y=12+9\), soit \(7x=21\), donc \(x=3\). En reportant dans la première équation : \(2(3)+3y=12\), donc \(3y=6\), soit \(y=2\).

Solution : \((x,y)=(3,2)\).

Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues

Rappel de Seconde

Résolution graphique d'une inéquation linéaire

Une inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).

Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.

Méthode — Modéliser un problème par un système

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