Première A1 · Leçon 7
Dénombrement
Ce que dit le programme officiel (26 points)
- À l’occasion de la fête d’anniversaire de leur fille, un couple sollicite un restaurateur qui leur propose quatre entrées, trois plats de résistance et cinq desserts.
- Un menu est composé d’une entrée, d’un plat de résistance et d’un dessert.
- Pour prévoir les dépenses liées à la restauration, le couple demande au restaurateur de lui communiquer le nombre de menus possibles.
- Le fils du restaurateur qui travaille avec son père se propose de déterminer ce nombre.
- Pour cela, il sollicite ses camarades de classe et ensemble, ils décident de mener des recherches sur le dénombrement d’ensembles finis.
- la définition du produit cartésien de deux ensembles finis
- la définition d’une p-liste (p-uplet)
- la définition d’un arrangement
- la définition d’une permutation
- la définition d’une combinaison
- le nombre de p-listes (p-uplets) d’un ensemble fini
- le nombre d’arrangements à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments
- le nombre de combinaisons à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- n ! =12…(n-1)n ; C_p^n = A_p^n/n! ; A_p^n = n(n-1)….(n – p+1) ; C_p^n = n!/p!(n-p)!
- le nombre de p-liste (p-uplet) d’un ensemble fini
- nombre de permutations d’un ensemble à n éléments
- nombre de combinaison à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- le cardinal d’un produit cartésien de deux ensembles finis
- le nombre de p-liste (p-uplet) d’un ensemble à n éléments.
- le nombre de combinaison à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- le cardinal d’un produit cartésien de deux ensembles finis
- le nombre d’arrangements à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments
- le nombre de combinaisons à p éléments d’un ensemble à n éléments (p ≤ n)
- Traiter une situation faisant appel au dénombrement
Source : Programme éducatif Première A1, DPFC, version CND 0923
Cardinal d'un ensemble fini, réunion et complémentaire
Le cardinal d'un ensemble fini \(A\), noté \(\text{card}(A)\), est son nombre d'éléments (\(\text{card}(\varnothing)=0\)). Pour \(A\), \(B\) parties d'un ensemble fini \(E\), et \(F\) un autre ensemble fini :
\[ \text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B), \qquad \text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A), \] \[ \text{card}(A\times F)=\text{card}(A)\times\text{card}(F), \qquad \text{card}(A^p)=\bigl(\text{card}(A)\bigr)^p. \]Dans un club de lecture de \(40\) membres, \(22\) lisent des romans (\(R\)), \(15\) lisent de la poésie (\(P\)), et \(9\) lisent les deux. Combien de membres lisent au moins l'un des deux genres ? Combien n'en lisent aucun ?
\[ \text{card}(R\cup P)=22+15-9=28. \]Membres ne lisant ni romans ni poésie : \(40-28=12\).
Figure — Diagramme de Venn de l'exemple (club de 40 membres)
\(13\) membres ne lisent que des romans, \(6\) que de la poésie, \(9\) les deux, \(12\) aucun des deux — total \(13+9+6+12=40\).
Produit cartésien. Un artisan propose \(5\) motifs de pagne et \(3\) couleurs de teinture. Nombre de combinaisons (motif, couleur) possibles : \(5\times3=15\).
Parties. Un festival propose \(4\) types de spectacle \(E=\{\text{théâtre};\text{danse};\text{conte};\text{musique}\}\). Nombre de programmes possibles (tout sous-ensemble de spectacles retenus, y compris aucun ou tous) : \(2^4=16\).
Produit cartésien, parties d'un ensemble et p-uplets
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\) :
\[ \text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B). \]On retranche \(\text{card}(A\cap B)\) car les éléments communs à \(A\) et \(B\) seraient sinon comptés deux fois. Si \(A\) et \(B\) sont disjoints (\(A\cap B=\varnothing\)), on retrouve simplement \(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)\) — c'est le principe de partition. Pour le complémentaire \(\overline A\) de \(A\) dans un ensemble \(E\) : \(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
Dans une classe de \(30\) élèves, \(18\) pratiquent le football (\(F\)), \(12\) pratiquent le basketball (\(B\)), et \(6\) pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins un des deux sports ? Combien n'en pratiquent aucun ?
\[ \text{card}(F\cup B)=18+12-6=24. \]Élèves ne pratiquant aucun des deux sports : \(30-\text{card}(F\cup B)=30-24=6\).
Figure — Diagramme de Venn de l'exemple (classe de 30 élèves)
\(12\) élèves ne pratiquent que le football, \(6\) que le basketball, \(6\) les deux, \(6\) aucun des deux — total \(12+6+6+6=30\).
Pour \(E\) et \(F\) finis, de cardinaux \(n\) et \(m\), et \(p\) un entier naturel :
\[ \text{card}(E\times F)=n\times m, \qquad \text{card}\bigl(\mathcal P(E)\bigr)=2^n, \qquad \text{card}(E^p)=n^p. \]\(\mathcal P(E)\) désigne l'ensemble des parties de \(E\) (sous-ensembles de \(E\), \(\varnothing\) et \(E\) inclus). \(E^p\) désigne l'ensemble des \(p\)-uplets d'éléments de \(E\) (des \(p\)-listes ordonnées, avec répétitions possibles).
Produit cartésien. Un menu propose \(4\) entrées et \(3\) plats. Nombre de menus (entrée, plat) possibles : \(4\times3=12\).
Parties. Un ensemble \(E\) à \(5\) éléments possède \(2^5=32\) parties (dont \(\varnothing\) et \(E\) lui-même).
\(p\)-uplets. Un digicode comporte \(4\) chiffres, chacun choisi parmi \(\{0,1,\dots,9\}\), avec répétitions autorisées : nombre de codes possibles \(=10^4=10\,000\).
Arrangements
Un arrangement de \(p\) éléments pris parmi \(n\) (\(p\leqslant n\)) est une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts choisis parmi les \(n\). Leur nombre, noté \(A_n^p\), vaut :
\[ A_n^p=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Arbre des podiums (Or, Argent) parmi 3 finalistes
3 finalistes — Awa (A), Boureima (B), Cissé (C) — pour la médaille d'or, puis 2 restants pour l'argent : \(A_3^2=3\times2=6\) podiums.
Factorielle et permutations
Une permutation d'un ensemble à \(n\) éléments est un rangement ordonné de ces \(n\) éléments, chacun utilisé une seule fois. Le nombre de permutations est \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1\), avec \(0!=1\).
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Voir les offresCombinaisons
Une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est une partie à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments — contrairement à l'arrangement, l'ordre n'intervient pas. Leur nombre, noté \(\binom np\), vaut :
\[ \binom np=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
\(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)\).
\(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
\(\text{card}(E\times F)=\text{card}(E)\times\text{card}(F)\).
\(\text{card}(\mathcal P(E))=2^n\) ; \(\text{card}(E^p)=n^p\).
\(\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)\).
\(\text{card}(\overline A)=\text{card}(E)-\text{card}(A)\).
\(\text{card}(A\times F)=\text{card}(A)\times\text{card}(F)\).
\(2^n\) parties d'un ensemble à \(n\) éléments ; \(\text{card}(A^p)=n^p\).
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Dans un groupe de \(50\) personnes, \(28\) parlent anglais, \(15\) parlent espagnol, \(8\) parlent les deux langues. Combien parlent au moins une des deux langues ? Combien n'en parlent aucune ?
\(\text{card}(A\cup E)=28+15-8=35\). Aucune des deux langues : \(50-35=15\).
Question 2. Un cadenas à combinaison comporte \(3\) anneaux, chacun réglable sur un chiffre de \(0\) à \(9\). Combien de combinaisons différentes existe-t-il ?
\(10^3=1\,000\) combinaisons.
Question 3. Soit \(E\) un ensemble à \(6\) éléments. Combien \(E\) a-t-il de parties au total ? Combien de parties propres non vides (on exclut \(\varnothing\) et \(E\)) ?
\(2^6=64\) parties au total. En retirant \(\varnothing\) et \(E\) : \(64-2=62\).
Question 1. Dans une classe de Première A de \(45\) élèves, \(30\) étudient l'anglais, \(20\) étudient l'espagnol, \(12\) étudient les deux langues. Combien étudient au moins une des deux langues ? Combien n'en étudient aucune ?
\(\text{card}(A\cup E)=30+20-12=38\). Aucune des deux langues : \(45-38=7\).
Question 2. Un digicode comporte \(2\) anneaux, chacun réglable sur un chiffre de \(0\) à \(9\). Combien de codes différents existe-t-il ?
\(10^2=100\) codes.
Question 3. Soit \(E\) un ensemble à \(5\) éléments. Combien de parties possède \(E\) au total ? Combien de parties propres non vides (on exclut \(\varnothing\) et \(E\)) ?
\(2^5=32\) parties au total. En retirant \(\varnothing\) et \(E\) : \(32-2=30\).
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