Première A1 · Leçon 3
Généralités sur les fonctions
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Identifier - un centre de symétrie éventuel de la représentation graphique d’une fonction.
- Identifier - un axe de symétrie éventuel de la représentation graphique d’une fonction.
- Connaître - la définition d’une fonction paire sur ℝ ou sur ℝ*
- Connaître - la définition d’une fonction impaire sur ℝ ou sur ℝ*
- Connaître - les propriétés liant la parité d’une fonction et sa représentation graphique.
- Connaître - la propriété pour démontrer qu’un point est centre de symétrie
- Connaître - la propriété pour démontrer qu’une droite est axe de symétrie
- Reconnaitre - une fonction est paire ou impaire à partir de la représentation graphique
- Justifier - qu’une fonction donnée par une formule explicite est paire ou impaire
- Justifier - qu’un point donné est un centre de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- Justifier - qu’une droite donnée est un axe de symétrie de la représentation graphique d’une fonction.
- Traiter une situation faisant appel aux fonctions.
Source : Programme éducatif Première A1, DPFC, version CND 0923
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Fonction : image, antécédent, ensemble de définition, courbe
Rappel de SecondeRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résumé
Un \(x\) a une seule image \(f(x)\) ; un \(y\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Lecture graphique : verticale pour l'image, horizontale pour les antécédents.
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) directement par le calcul, sans notion de limite (hors programme en Seconde).
Paire : \(f(-x)=f(x)\), symétrie / axe des ordonnées. Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), symétrie / origine. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
\(f(x+T)=f(x)\) : le motif se répète tous les \(T\). Utile pour les fonctions circulaires (chapitre VI).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Sujet type devoir
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-8x+3\).
Question 1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
\(f(0)=3\) ; \(f(2)=8-16+3=-5\) ; \(f(4)=32-32+3=3\).
Question 2. \(f\) est-elle paire ? Justifier.
Non : on a trouvé \(f(0)=3\) et \(f(4)=3\), mais \(f(-4)=32+32+3=67 \ne f(4)=3\). Comme \(f(-4)\ne f(4)\), \(f\) n'est pas paire (et le test suffit ici, un seul contre-exemple invalide la parité).
Question 3. Montrer que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\) en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(0\le a\le b\le2\).
\(f(a)-f(b) = 2a^2-8a-(2b^2-8b) = 2(a^2-b^2) - 8(a-b) = 2(a-b)(a+b) - 8(a-b) = (a-b)\big(2(a+b)-8\big)\).
Pour \(0\le a\le b\le2\) : \(a-b\le0\). Et \(a+b\le4\), donc \(2(a+b)-8\le0\). Un produit de deux facteurs négatifs (ou nuls) est positif : \(f(a)-f(b)\ge0\), soit \(f(a)\ge f(b)\). \(f\) est bien décroissante sur \([0;2]\).