Première A1 · Leçon 5
Suites numériques
Exercices corrigés
QCM — Génération et variation d’une suite
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5 b) 7 c) 9 d) 1
2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19 b) 22 c) 25 d) 7
3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$ b) $2$ c) $-2n$ d) $8$
4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante b) décroissante c) constante d) on ne peut pas savoir
QCM — Arithmétique et géométrique
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Suite arithmétique de premier terme $u_0=10$ et de raison $r=-4$. $u_7$ vaut :
a) $-18$ b) $18$ c) $-30$ d) $38$
2) Suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. $u_4$ vaut :
a) 40 b) 80 c) 20 d) 160
3) Suite arithmétique $u_0=3$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ (10 termes) vaut :
a) 120 b) 210 c) 240 d) 110
4) $1+2+\cdots+15$ vaut :
a) 105 b) 120 c) 135 d) 225
Situation d’intégration — Programme de reboisement
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).
Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.
Situation d’intégration — Épargne d’un artisan
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un artisan dépose $30\,000$ FCFA sur un compte d'épargne la première année. Chaque année suivante, il augmente son dépôt de $10\%$ par rapport à l'année précédente : les dépôts successifs suivent donc une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1{,}1$, avec $u_0=30\,000$.
Consigne : Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_4$ (dépôt de la 5e année, arrondi au FCFA près), puis calculer la somme totale déposée sur 5 ans ($u_0$ à $u_4$, arrondie au FCFA près).
Problème — Suites et conjecture
Problème.
Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.
Voir le corrigé
- $u_0=f(0)=-1$, $u_1=f(1)=2-1=1$, $u_2=f(2)=8-1=7$.
- $u_{n+1}-u_n=2(n+1)^2-1-(2n^2-1)=2(n^2+2n+1)-2n^2=4n+2$. Pour tout $n\geqslant0$, $4n+2>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
- $v_1=2\times3-1=5$, $v_2=2\times5-1=9$, $v_3=2\times9-1=17$, $v_4=2\times17-1=33$.
- Écarts consécutifs : $5-3=2$, $9-5=4$, $17-9=8$, $33-17=16$ — ces écarts doublent à chaque étape ($2,4,8,16$, soit $2^{n+1}$). On conjecture $v_n=2^{n+1}+1$.
- Vérification : $n=0$, $2^1+1=3=v_0$ ✓ ; $n=1$, $2^2+1=5=v_1$ ✓ ; $n=2$, $2^3+1=9=v_2$ ✓ ; $n=3$, $2^4+1=17=v_3$ ✓ ; $n=4$, $2^5+1=33=v_4$ ✓ — la conjecture est vérifiée sur les cinq premiers termes.
Problème — Comparer arithmétique et géométrique
Problème.
Partie A. Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=6$ et pour raison $r=5$.
1) Calculer $u_{15}$.
2) Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.
Partie B. Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=4$ et pour raison $q=\dfrac12$.
3) Calculer $v_5$.
4) Calculer la somme $T=v_0+v_1+\cdots+v_5$.
Partie C.
5) Sans calcul supplémentaire, comparer en une phrase le comportement des deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ pour de grandes valeurs de $n$.
Voir le corrigé
- $u_{15}=u_0+15r=6+15\times5=6+75=81$.
- $S=16\times\dfrac{u_0+u_{15}}2=16\times\dfrac{6+81}2=16\times43{,}5=696$ (16 termes, de $u_0$ à $u_{15}$).
- $v_5=v_0\times q^5=4\times\left(\dfrac12\right)^5=\dfrac4{32}=\dfrac18=0{,}125$.
- $T=v_0\times\dfrac{q^6-1}{q-1}=4\times\dfrac{\left(\frac12\right)^6-1}{\frac12-1}=4\times\dfrac{\frac1{64}-1}{-\frac12}=4\times\dfrac{-\frac{63}{64}}{-\frac12}=4\times\dfrac{63}{32}=\dfrac{252}{32}=7{,}875$.
- La suite arithmétique $(u_n)$ croît indéfiniment sans limite (vers $+\infty$), tandis que la suite géométrique $(v_n)$, de raison $\dfrac12$ comprise entre 0 et 1, décroît vers $0$ : deux comportements opposés pour de grandes valeurs de $n$.
Les pagnes de la tisserande
Une tisserande lance un nouvel atelier. La première semaine, elle tisse 12 pagnes. Comme elle gagne en habileté, elle tisse ensuite, chaque semaine, 3 pagnes de plus que la semaine précédente. On note \(u_n\) le nombre de pagnes tissés pendant la semaine numéro \(n\), avec \(u_1=12\).
1) Calcule \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\), puis écris la relation qui permet de passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\).
2) Dresse le tableau des valeurs de \(u_n\) pour les semaines 1 à 8.
3) Vérifie, pour \(n=1\), \(n=2\) et \(n=8\), que \(u_n=3n+9\). On admet que cette formule est vraie pour toutes les semaines : calcule \(u_{20}\).
4) Pendant quelle semaine la tisserande tisse-t-elle exactement 60 pagnes ? Justifie par la résolution d'une équation.
5) Calcule, en additionnant les valeurs de ton tableau, le nombre total de pagnes tissés pendant les 8 premières semaines.
6) Dans un repère, on place les points de coordonnées \((n\,;u_n)\) pour les semaines 1 à 8. Explique pourquoi ces points sont alignés.
La caisse du groupement
Un groupement de maraîchères dépose 200 000 F dans une caisse d'épargne. Chaque année, la caisse ajoute au compte des intérêts égaux à 10 % de la somme présente, puis le groupement verse 30 000 F supplémentaires. On note \(u_n\) la somme, en francs, présente sur le compte au bout de \(n\) années, avec \(u_0=200\,000\).
1) Calcule \(u_1\) et \(u_2\) en détaillant les intérêts de chaque année.
2) Explique pourquoi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1}=1{,}1\,u_n+30\,000\).
3) Calcule \(u_3\) et \(u_4\).
4) Calcule les augmentations \(u_1-u_0\), \(u_2-u_1\), \(u_3-u_2\) et \(u_4-u_3\). Sont-elles égales ? Interprète ce que tu observes.
5) Au bout de combien d'années la somme présente sur le compte dépasse-t-elle 400 000 F pour la première fois ? Justifie.
6) Quelle somme le groupement a-t-il versée lui-même en 4 ans, dépôt initial compris ? Déduis-en le montant total des intérêts reçus.
Retrouver une formule grâce à un système
Une suite \((u_n)\) est définie, pour tout entier naturel \(n\), par une formule explicite de la forme \(u_n=an+b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres à déterminer. On connaît deux de ses termes : \(u_2=11\) et \(u_5=20\).
1) Traduis les deux renseignements par un système de deux équations d'inconnues \(a\) et \(b\), puis résous ce système.
2) Écris la formule de \(u_n\), vérifie qu'elle redonne bien \(u_2\) et \(u_5\), puis calcule \(u_0\), \(u_1\) et \(u_{10}\).
3) Calcule \(u_{n+1}-u_n\) pour tout entier naturel \(n\). Déduis-en une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
4) Le nombre 152 est-il un terme de la suite ? Si oui, précise son rang. Justifie.
5) Le nombre 100 est-il un terme de la suite ? Justifie, puis donne les deux termes consécutifs de la suite qui encadrent 100.
Une suite définie par une formule explicite
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=n^2-8n+15\). On note \(f\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^2-8x+15\), de sorte que \(u_n=f(n)\).
1) Calcule les six premiers termes de la suite, de \(u_0\) à \(u_5\).
2) Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations \(x^2-8x+15=0\) et \(x^2-8x+15=48\). Déduis-en les rangs \(n\) pour lesquels \(u_n=0\), puis le rang pour lequel \(u_n=48\).
3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\). Déduis-en le plus petit terme de la suite.
4) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n=u_{n+1}-u_n\). Calcule \(d_0\), \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) et \(d_4\), puis montre que \(d_n=2n-7\).
5) Étudie le signe de \(d_n\) selon les valeurs de \(n\). Explique en quoi ce résultat est en accord avec celui de la question 3.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.