Statistique

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Série : $3,5,7,9$. L'étendue vaut :
a) 4   b) 6   c) 9   d) 3

2) Série de moyenne 8 : $6,7,9,10$. L'écart-moyen vaut :
a) 1   b) 1,5   c) 2   d) 6

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\dfrac1n\sum x_i-\bar x$   b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$   c) $V=\sqrt{\dfrac1n\sum x_i^2}$   d) $V=\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i$

4) Si $\sigma=3$, alors la variance $V$ vaut :
a) 9   b) 6   c) 3   d) 1,5

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une série a pour effectifs $3,7,6,3,1$. L'effectif total est :
a) $20$   b) $15$   c) $18$   d) $25$

2) Pour une série de $20$ individus (effectif pair), la médiane se situe entre :
a) la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ valeur triées   b) la $9^{\text e}$ et la $10^{\text e}$   c) uniquement la $10^{\text e}$   d) uniquement la $11^{\text e}$

3) Dans un histogramme, ce qui doit être proportionnel à l'effectif d'une classe est :
a) l'aire du rectangle   b) la hauteur du rectangle   c) la largeur du rectangle   d) le périmètre

4) La classe modale d'une série regroupée en classes est :
a) la classe de plus grand effectif   b) la classe la plus large   c) la première classe   d) la classe contenant la moyenne

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux champs de mil dans la province du Yatenga ont produit, sur 5 années successives, les rendements suivants (en sacs de 100 kg) :
Champ A : $18,\;20,\;19,\;21,\;22$
Champ B : $12,\;25,\;15,\;28,\;20$

Consigne : Calculer la moyenne de chaque champ, calculer l'écart-type de chaque champ à l'aide de la formule simplifiée, et conclure sur la régularité de chaque champ pour aider l'agriculteur à décider lequel privilégier en cas de mauvaise saison.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.

Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?

Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.

1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un enseignant de mathématiques regroupe les notes sur $20$ de ses $25$ élèves à un contrôle en classes : $[0;5[$ : $2$ élèves ; $[5;10[$ : $6$ élèves ; $[10;15[$ : $11$ élèves ; $[15;20]$ : $6$ élèves. Le proviseur souhaite savoir si une séance de soutien s'impose : il fixe le seuil de déclenchement à $30\,\%$ d'élèves en situation d'échec (note strictement inférieure à $10$).

Consigne : Vérifier l'effectif total, déterminer la classe modale, calculer le nombre d'élèves ayant une note inférieure à $10$ ainsi que le pourcentage correspondant, et conclure si le proviseur doit déclencher la séance de soutien.

Exercice supplémentaire. Un pharmacien classe les âges de $40$ clients reçus en une matinée : $[0;20[$ : $6$ clients ; $[20;40[$ : $14$ clients ; $[40;60[$ : $12$ clients ; $[60;80[$ : $8$ clients.

1) Donner le centre de chaque classe.
2) Calculer l'âge moyen de ces clients.
3) Quelle est la classe modale ?

Problème. On relève les notes sur 20 obtenues par 5 élèves à un devoir : $8,\;10,\;10,\;12,\;15$.

Partie A.
1) Calculer la moyenne de cette série.
2) Calculer l'étendue de cette série.

Partie B.
3) Calculer la variance à l'aide de la formule simplifiée.
4) En déduire l'écart-type, arrondi au centième.

Partie C.
5) Le professeur décide d'ajouter 2 points de bonus à chaque note. Sans refaire tous les calculs, donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type, en justifiant.

Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.

Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?

Problème. Un vendeur de recharges téléphoniques relève le nombre de recharges vendues chaque jour sur $10$ jours :

Partie A. 1) Vérifier que l'effectif total est bien $10$, puis déterminer le mode.

Partie B. 2) Calculer la moyenne des ventes journalières.

Partie C. 3) Déterminer la médiane de cette série.

Un professeur a demandé à ses 50 élèves combien de minutes dure leur trajet entre la maison et le lycée. Il a regroupé les réponses en classes.

1) Précise la population étudiée, le caractère étudié et sa nature, puis calcule la fréquence de chaque classe en pourcentage.

2) Quelle est la classe modale ? Dans l'histogramme des effectifs, toutes les classes ont la même amplitude et l'on choisit 1 cm de hauteur pour 4 élèves : calcule la hauteur de chacun des cinq rectangles.

3) Calcule la durée moyenne \(\bar{x}\) du trajet, en remplaçant chaque classe par son centre.

4) Calcule la variance \(V\), puis l'écart-type \(\sigma\) de cette série.

5) En supposant que les durées sont régulièrement réparties dans chaque classe, estime le nombre d'élèves dont le trajet dure entre \(\bar{x}-\sigma\) et \(\bar{x}+\sigma\) minutes, puis le pourcentage correspondant.

6) Dans un autre lycée, la durée moyenne du trajet est aussi de 25 minutes, mais l'écart-type est de 16 minutes. Interprète cette différence.

Une coopérative agricole a relevé la superficie, en hectares, des 80 champs de ses membres. Les classes n'ont pas toutes la même amplitude.

1) Calcule la fréquence de chaque classe en pourcentage, puis le pourcentage de champs de moins de 8 hectares.

2) Explique pourquoi, dans l'histogramme de cette série, on ne peut pas prendre les effectifs comme hauteurs des rectangles. Calcule, pour chaque classe, le quotient de l'effectif par l'amplitude, qui sert de hauteur.

3) Déduis-en la classe modale de la série. Est-ce la classe qui a le plus grand effectif ?

4) Calcule la superficie moyenne \(\bar{x}\) d'un champ, puis une estimation de la superficie totale cultivée par la coopérative.

5) Calcule l'écart moyen de la série, c'est-à-dire la moyenne des distances des centres des classes à \(\bar{x}\).

6) Estime le pourcentage de la superficie totale occupé par les champs de la classe \([8\,;16[\), arrondi au dixième. Compare-le au pourcentage de champs que cette classe représente et interprète.

La gérante d'une boutique a noté le montant des achats, en milliers de francs, de ses 200 clients du mois.

1) Dresse le tableau des effectifs cumulés croissants, puis donne les coordonnées des six points qui permettent de tracer le polygone des effectifs cumulés croissants.

2) Sur l'intervalle \([40\,;60]\), ce polygone est un segment de droite d'équation \(y=ax+b\). Écris le système vérifié par \(a\) et \(b\), puis résous-le.

3) Justifie que la médiane \(M\) appartient à la classe \([40\,;60[\), puis calcule \(M\) à l'aide de la question 2. Interprète ce résultat.

4) Calcule le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\), puis l'écart interquartile.

5) Estime le nombre de clients dont les achats sont inférieurs à 50 milliers de francs, puis le pourcentage de clients dont les achats atteignent ou dépassent ce montant.

On considère la série statistique suivante, regroupée en classes, où \(x\) désigne un entier naturel non nul. On sait que la moyenne de cette série est égale à 8,4.

1) Exprime en fonction de \(x\) l'effectif total, puis la moyenne de la série. Écris l'équation vérifiée par \(x\) et montre que \(x=20\).

2) Calcule les fréquences, puis les fréquences cumulées croissantes, en pourcentage. Déduis-en la médiane de la série en justifiant.

3) Calcule l'écart moyen de la série.

4) Calcule la variance de la série, puis son écart-type arrondi au centième.

5) Une seconde série a la même moyenne, 8,4, et un écart-type égal à 2,1. Laquelle des deux séries est la plus homogène ? Justifie. Compare aussi la moyenne et la médiane de la première série.