Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^4-20x^2+64\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Calcule \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-1)\) et \(f(3)\).

2) Justifie que la fonction \(f\) est paire. Quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe \((C)\) ? Donne sans nouveau calcul la valeur de \(f(-3)\).

3) Détermine les antécédents de 0 par \(f\) (tu pourras poser \(X=x^2\)). En combien de points la courbe \((C)\) coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

4) Détermine les antécédents de 64 par \(f\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x^2-10)^2-36\). Déduis-en que \(f(x)\geq -36\) pour tout réel \(x\), puis trouve les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)=-36\).

6) Le nombre \(-40\) a-t-il des antécédents par \(f\) ? Justifie ta réponse, puis interprète-la sur la courbe \((C)\).

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^3-9x^2+24x-10\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan et \(I\) le point de coordonnées \((3\,;8)\).

1) Calcule \(g(1)\), \(g(5)\), \(g(2)\) et \(g(4)\), puis les sommes \(g(1)+g(5)\) et \(g(2)+g(4)\). Que remarques-tu ?

2) Démontre que, pour tout réel \(h\), \(g(3+h)=h^3-3h+8\).

3) Calcule de même \(g(3-h)\), puis justifie que le point \(I\) est un centre de symétrie de la courbe \((C)\).

4) En utilisant le résultat de la question 2, détermine les antécédents de 8 par \(g\).

5) Calcule \(g(0)\). Sans remplacer \(x\) par 6 dans l'expression de \(g(x)\), déduis-en \(g(6)\) grâce à la symétrie, puis vérifie ton résultat par un calcul direct.

Une association de jeunes organise un concert dans une salle de 300 places. Une enquête montre que, si l'entrée est gratuite, la salle est pleine, et que chaque hausse de 100 francs du prix du billet fait perdre 10 spectateurs. On note \(x\) le prix du billet en centaines de francs : le nombre de spectateurs est alors \(n(x)=300-10x\). On note \(R(x)\) la recette du concert, en centaines de francs.

1) Explique pourquoi \(x\) appartient à l'intervalle \([0\,;30]\), puis montre que \(R(x)=-10x^2+300x\).

2) Calcule \(R(10)\) et \(R(20)\). Que constates-tu ?

3) Démontre que, pour tout nombre \(h\) de l'intervalle \([-15\,;15]\), \(R(15+h)=2250-10h^2\). Déduis-en que la droite d'équation \(x=15\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(R\).

4) Déduis de la question 3 la recette maximale. Donne le prix du billet correspondant, en francs, et le nombre de spectateurs attendus.

5) Les dépenses du concert s'élèvent à 161 000 francs. Résous dans \([0\,;30]\) l'inéquation \(R(x)\geq 1610\), puis interprète le résultat pour l'association.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{12}{x}\). On note \((H)\) sa courbe représentative dans un repère du plan d'origine O.

1) Donne l'ensemble de définition de \(f\). Calcule \(f(-4)\), \(f(3)\) et \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\), puis détermine l'antécédent de \(-8\) par \(f\).

2) Justifie que la fonction \(f\) est impaire. Quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe \((H)\) ?

3) La droite \((D)\) a pour équation \(y=3x\). Détermine les coordonnées des points A et B où \((D)\) coupe \((H)\). Explique pourquoi on pouvait prévoir que ces deux points sont symétriques par rapport à O.

4) La droite \((L)\) a pour équation \(y=x+1\). Résous l'équation \(f(x)=x+1\), puis donne les coordonnées des points E et F où \((L)\) coupe \((H)\).

5) Résous l'inéquation \(f(x)\geq 3\), puis interprète graphiquement l'ensemble des solutions.