Équations et inéquations dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$   b) $9$   c) $29$   d) $1$

2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$   b) $-2$ et $-5$   c) $1$ et $10$   d) $2$ et $-5$

3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$   b) $(x-3)^2+4$   c) $(x+3)^2-4$   d) $(x-6)^2+5$

4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif   b) positif   c) nul   d) indéterminé

Exercice supplémentaire. On considère le polynôme $P(x)=2x^2-5x-3$.

1) Calculer le discriminant de $P$.
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$.
3) En déduire la factorisation de $P(x)$ puis résoudre l'inéquation $P(x)\le0$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.

Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

On considère le polynôme du second degré \(P(x)=3x^2-10x-8\), défini pour tout réel \(x\).

1) Calcule le discriminant de \(P\), puis détermine ses zéros.

2) Écris \(P(x)\) sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré à coefficients entiers. Contrôle ta factorisation en la développant.

3) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\), puis résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x)\leq 0\).

4) Sans calculer \(P(1)\) ni \(P(-1)\), donne le signe de chacun de ces deux nombres en justifiant à l'aide de la question 3. Vérifie ensuite par le calcul.

5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(3x^4-10x^2-8=0\) en posant \(X=x^2\).

Un atelier de tissage fabrique et vend chaque semaine \(x\) pagnes tissés, où \(x\) est un nombre entier compris entre 0 et 20. Le résultat de la semaine, exprimé en milliers de francs, est modélisé par \(B(x)=-2x^2+44x-170\). Quand \(B(x)\) est positif, l'atelier réalise un bénéfice ; quand \(B(x)\) est négatif, il subit une perte.

1) Calcule \(B(0)\) et \(B(4)\), puis interprète ces deux résultats.

2) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(B(x)=0\) à l'aide du discriminant.

3) Dresse le tableau de signes de \(B(x)\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en les nombres de pagnes pour lesquels l'atelier réalise un bénéfice strictement positif.

4) L'atelier vise un bénéfice d'au moins 70 milliers de francs. Montre que cette condition s'écrit \(x^2-22x+120\leq 0\), résous cette inéquation dans \(\mathbb{R}\), puis conclus.

5) Le bénéfice peut-il atteindre 80 milliers de francs ? Justifie ta réponse à l'aide d'un discriminant.

On considère l'expression \(Q(x)=\dfrac{2x-6}{x+4}\), où \(x\) désigne un nombre réel.

1) Pour quelle valeur de \(x\) l'expression \(Q(x)\) n'existe-t-elle pas ? Résous ensuite l'équation \(Q(x)=0\).

2) Dresse le tableau de signes de \(Q(x)\), puis résous l'inéquation \(Q(x)\geq 0\).

3) Déduis du tableau, sans nouveau calcul, l'ensemble des solutions de l'inéquation \(Q(x)\lt 0\). Contrôle ton tableau en calculant \(Q(-5)\), \(Q(0)\) et \(Q(5)\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\) différent de \(-4\), \(Q(x)-1=\dfrac{x-10}{x+4}\). Résous alors l'inéquation \(Q(x)\leq 1\).

5) Résous l'équation \(Q(x)=x-3\), puis vérifie chaque solution trouvée.

Une association de parents d'élèves veut aménager un terrain de jeu rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 7 mètres. On note \(x\) la largeur du terrain, en mètres, avec \(x\gt 0\).

1) Exprime en fonction de \(x\) l'aire \(A(x)\) du terrain, en mètres carrés, et son périmètre \(p(x)\), en mètres.

2) Dans un premier projet, l'aire du terrain est de 228 mètres carrés. Montre que \(x\) vérifie l'équation \(x^2+7x-228=0\), puis résous cette équation dans \(\mathbb{R}\).

3) Déduis-en les dimensions et le périmètre du terrain du premier projet. Explique pourquoi une seule des deux solutions de l'équation convient.

4) Le budget oblige finalement à limiter l'aire à 120 mètres carrés au plus. Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(x^2+7x-120\leq 0\), puis donne les largeurs possibles.

5) L'association souhaite en plus que le périmètre soit d'au moins 38 mètres. Détermine toutes les largeurs qui respectent les deux conditions, puis donne les dimensions, l'aire et le périmètre du plus grand terrain possible.