Dérivabilité et étude de fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La dérivée de $f(x)=x^4$ est :
a) $4x^3$   b) $x^3$   c) $4x^4$   d) $3x^3$

2) Soit $g(x)=\dfrac1x$. $g'(2)$ vaut :
a) $-\dfrac14$   b) $\dfrac14$   c) $-2$   d) $2$

3) Soit $h(x)=\sqrt x$. $h'(9)$ vaut :
a) $\dfrac16$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $\dfrac1{18}$

4) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2 est :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x+5$   d) $y=2x-3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=0$ pour tout $x$. On peut affirmer que $f$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut rien dire

2) Soit $g$ dérivable sur $I$ avec $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$. $g$ est alors :
a) constante sur $I$   b) croissante sur $I$   c) décroissante sur $I$   d) non dérivable

3) Soit $s(x)=x^2-6x+5$. La valeur de $x$ qui annule $s'(x)$ est :
a) 3   b) 5   c) 6   d) $-3$

4) Pour tracer la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$, là où $f(x)<0$, on :
a) supprime la portion de courbe   b) la laisse identique   c) la replie par symétrie par rapport à $(Ox)$   d) la translate vers le haut

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une petite entreprise fabrique des vélos. Son bénéfice journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ vélos produits ($x\in[0;12]$), est modélisé par $B(x)=-\dfrac12x^2+6x-10$. Le directeur veut savoir, pour une production actuelle de $x=4$ vélos, si le bénéfice progresse encore ou commence déjà à ralentir, afin de décider s'il est pertinent d'augmenter légèrement la production.

Consigne : Calculer $B'(x)$, puis $B'(4)$, interpréter le signe du résultat pour conseiller le directeur, et donner l'équation de la tangente à la courbe de $B$ au point d'abscisse 4.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise produit du jus de mangue en bouteilles. Le coût total journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ centaines de bouteilles produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $K(x)=x^2-8x+20$. Le gérant souhaite déterminer la production qui minimise ce coût, afin de fixer un objectif journalier réaliste.

Consigne : Étudier le signe de $K'(x)$, dresser le sens de variation de $K$, puis en déduire la production optimale (en nombre de bouteilles) et le coût minimal correspondant.

Problème.

Partie A. Soit $p(x)=x^3-3x$.
1) Calculer $p'(x)$.
2) Calculer $p'(0)$, $p'(1)$ et $p'(-1)$.
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse 0.

Partie B. Soit $q(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
4) Calculer $q'(x)$ à l'aide de la règle du quotient.
5) Calculer $q'(1)$ et en déduire le sens de variation de $q$ sur $]-\infty;3[$.

Problème. Soit $f(x)=x^2-2x-3$.

Partie A.
1) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

Partie B.
4) Décrire la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$ : sur quels intervalles coïncide-t-elle avec $f$, sur lequel est-elle repliée, et quelle est la valeur du maximum local obtenu par ce repli ?
5) On pose $g(x)=f(x+2)$. Donner l'expression développée de $g(x)$ et calculer $g(0)$.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([-3\,;5]\) par \(f(x)=-x^3+3x^2+9x-7\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1) Calcule \(f'(x)\), puis vérifie que \(f'(x)=-3(x+1)(x-3)\).

2) Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \([-3\,;5]\) et déduis-en le sens de variation de \(f\).

3) Calcule \(f(-3)\), \(f(-1)\), \(f(3)\) et \(f(5)\), puis dresse le tableau de variation de \(f\). Précise les extremums relatifs de \(f\).

4) Justifie que, pour tout \(x\) de \([-3\,;5]\), on a \(-12\leq f(x)\leq 20\).

5) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point d'abscisse 0. Démontre que la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 2 est parallèle à \((T)\), puis donne son équation.

Une coopérative de femmes fabrique du savon artisanal. Elle produit chaque mois entre 0 et 1 500 cartons de savon. On note \(x\) le nombre de centaines de cartons produits et vendus dans le mois, avec \(x\) dans l'intervalle \([0\,;15]\). Le bénéfice mensuel, en milliers de francs, est modélisé par \(B(x)=-x^3+12x^2+60x-200\).

1) Calcule \(B(0)\), \(B(2)\) et \(B(5)\). Interprète la valeur de \(B(0)\) pour la coopérative.

2) Calcule \(B'(x)\). Résous l'équation \(B'(x)=0\) dans \(\mathbb{R}\), puis vérifie que \(B'(x)=-3(x+2)(x-10)\).

3) Étudie le signe de \(B'(x)\) sur \([0\,;15]\), puis dresse le tableau de variation de \(B\) sur cet intervalle.

4) Combien de cartons la coopérative doit-elle produire pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice maximal, en francs ?

5) Calcule \(B'(4)\) et \(B'(12)\), puis interprète le signe de chacun de ces deux nombres. Détermine enfin une équation de la tangente à la courbe de \(B\) au point d'abscisse 4.

Soit \(g\) la fonction définie pour tout réel \(x\) non nul par \(g(x)=2x+\dfrac{18}{x}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan d'origine O.

1) Justifie que la fonction \(g\) est impaire. Quelle conséquence cela a-t-il pour la courbe \((C)\) ?

2) Calcule \(g'(x)\) pour \(x\) non nul, puis montre que \(g'(x)=\dfrac{2(x-3)(x+3)}{x^2}\).

3) Étudie le signe de \(g'(x)\) sur l'intervalle \([1\,;9]\), dresse le tableau de variation de \(g\) sur \([1\,;9]\) et précise le minimum de \(g\) sur cet intervalle.

4) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 1.

5) Résous dans \([1\,;9]\) l'équation \(g(x)=15\). Explique pourquoi le nombre de solutions trouvé est en accord avec le tableau de variation.

6) En utilisant la question 1, donne sans nouveau calcul de dérivée le sens de variation de \(g\) sur \([-9\,;-1]\) et le maximum de \(g\) sur cet intervalle. Justifie.

Dans un atelier, un chariot se déplace sur un rail rectiligne pendant 6 secondes. La distance qu'il a parcourue depuis son départ, en centimètres, est donnée à l'instant \(t\), en secondes, par \(d(t)=-t^3+9t^2\), pour \(t\) dans l'intervalle \([0\,;6]\).

1) Calcule \(d(2)\) et \(d(3)\), puis la vitesse moyenne du chariot entre les instants 2 et 3.

2) Soit \(h\) un nombre non nul. Montre que \(d(2+h)=28+24h+3h^2-h^3\), puis que le taux d'accroissement de \(d\) entre 2 et \(2+h\) est égal à \(24+3h-h^2\). De quel nombre ce taux se rapproche-t-il quand \(h\) prend des valeurs de plus en plus proches de 0 ? Interprète ce nombre pour le chariot.

3) Calcule \(d'(t)\) et retrouve le nombre dérivé \(d'(2)\). Vérifie que \(d'(t)=3t(6-t)\), puis justifie que la fonction \(d\) est croissante sur \([0\,;6]\).

4) La vitesse du chariot à l'instant \(t\) est \(v(t)=d'(t)\), en centimètres par seconde. Étudie les variations de \(v\) sur \([0\,;6]\) et déduis-en la vitesse maximale du chariot ainsi que l'instant où elle est atteinte.

5) Détermine une équation de la tangente à la courbe de \(d\) au point d'abscisse 3. Que représente son coefficient directeur pour le chariot ?