Bac D 2018 — 2nd tour

Exercice 1 — Équation différentielle 4 pts

$(E_1): y'+\dfrac{2}{3}y=2e^{t/3}$    $(E_2): y'+\dfrac{2}{3}y=0$

1) Résolution de $(E_2)$

2) Solution particulière $f(t)=ke^{t/3}$ de $(E_1)$

3a) Équivalence $(E_1)$ et $(E_2)$

3b) Solution générale de $(E_1)$

3c) Condition initiale : concentration $3{,}25$ g/L à $t=0$

Exercice 2 — Complexes 4 pts

Partie A — $P(z)=z^3+(1+2i)z^2-(1-14i)z-13$

A1) Solution imaginaire pure $z_0$

A2) Résolution complète de $P(z)=0$

B2) Alignement de $A$, $B$, $C$

B3–4) $f(z)-i$ et ensembles $(E_4)$, $(E_5)$

Problème — Partie A : $g(x)=1-\dfrac{1}{x}+\ln x$ 12 pts

1) Domaine et limites

2) Variations de $g$ et $g(1)$

3) Signe de $g(x)$

Problème — Partie B : $f$ par morceaux

$f(x)=e^{x-1}-1$ si $x<1$   et   $f(x)=(x-1)\ln x$ si $x\geq1$

1–2) Continuité et dérivabilité en $x=1$

3) Limites, dérivée et tableau de variations

4) Branche parabolique et courbe $(C)$

Problème — Parties C & D

C1) Aire entre $(C)$, l'axe $Ox$, $x=1$ et $x=3$

C2) Aire entre $(C)$, $y=-1$, $x=\alpha<0$ et $x=1$ ; limite

D) Bijection $f:\mathbb{R}\to J$ et courbe de $f^{-1}$