Suites numériques

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

Exercice 2 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Exercice 1 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-4$ et $u_0=30$. Calculer $u_{12}$ et déterminer le signe de $u_{20}$.

Exercice 2 — Suite géométrique

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.

Exercice 3 — Récurrence et monotonie

$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.

1. $u_1,u_2,u_3$  2. Montrer $u_n<6$  3. Montrer croissance. Conclure.

Exercice 4 — Convergence

$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.

Exercice 3 — Détermination d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique telle que $u_3=17$ et $u_7=33$. Déterminer $u_0$ et la raison $r$, puis calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.

Exercice 4 — Somme géométrique et limite

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 5 — Intérêts composés

On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.

Une commerçante veut louer une boutique. La première année, le loyer mensuel est de 100 000 francs. Le propriétaire lui propose deux contrats. Avec le contrat A, le loyer mensuel augmente de 12 000 francs chaque année. Avec le contrat B, il augmente de 10 % chaque année. On note \(u_n\) le loyer mensuel du contrat A et \(v_n\) celui du contrat B après \(n\) augmentations, de sorte que \(u_0=v_0=100\,000\). On donne \(1{,}1^5=1{,}61051\) et \(1{,}1^6=1{,}771561\).

1) Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(v_1\) et \(v_2\). Précise la nature et la raison de chacune des deux suites, en justifiant.

2) Exprime \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\), puis calcule \(u_5\) et \(v_5\).

3) Calcule \(u_3\), \(u_4\), \(v_3\) et \(v_4\). Pendant quelle année le loyer du contrat B dépasse-t-il pour la première fois celui du contrat A ?

4) Le bail est signé pour six ans. Calcule \(u_0+u_1+\dots+u_5\) et \(v_0+v_1+\dots+v_5\), puis la somme totale payée en six ans avec chaque contrat. Lequel est le moins cher sur cette durée, et de combien ?

5) Donne le sens de variation et la limite de chacune des deux suites. Justifie que, pour \(n\geq 5\), le loyer du contrat B augmente de plus de 12 000 francs d'une année à la suivante. Quel contrat conseilles-tu pour un bail de six ans ? Et pour un bail beaucoup plus long ?

Une équipe creuse un puits à la main. La première semaine, elle creuse 8 mètres. Le sol devenant de plus en plus dur, elle ne creuse ensuite, chaque semaine, que la moitié de ce qu'elle a creusé la semaine précédente. Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(u_n\) la profondeur creusée pendant la semaine numéro \(n\), en mètres, et \(S_n=u_1+u_2+\dots+u_n\) la profondeur totale du puits au bout de \(n\) semaines.

1) Calcule \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\). Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).

2) Donne le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\). En calculant les termes un à un, détermine à partir de quelle semaine l'équipe creuse moins de \(0{,}1\) mètre dans la semaine.

3) Démontre que, pour tout \(n\geq 1\), \(S_n=16\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\). Contrôle cette formule pour \(n=4\) en additionnant les quatre premiers termes.

4) Détermine la limite de la suite \((S_n)\). Justifie que \(S_n\lt 16\) pour tout \(n\), puis interprète ces deux résultats pour le puits.

5) La nappe d'eau se trouve à \(15{,}5\) mètres de profondeur. Au bout de combien de semaines l'équipe l'atteint-elle ? Et si la nappe s'était trouvée à 17 mètres ? Conclus.

Une mutuelle de quartier compte 1 056 adhérents l'année de sa création. On observe que, chaque année, 25 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion, tandis que 200 nouvelles personnes adhèrent. On note \(u_n\) le nombre d'adhérents \(n\) années après la création, de sorte que \(u_0=1\,056\).

1) Justifie que, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=0{,}75u_n+200\). Calcule \(u_1\) et \(u_2\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?

2) Pour tout entier \(n\), on pose \(v_n=u_n-800\). Calcule \(v_0\), \(v_1\) et \(v_2\), puis démontre que \(v_{n+1}=0{,}75v_n\). Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ?

3) Exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\). Calcule \(u_4\) avec cette formule, en écrivant \(0{,}75=\dfrac{3}{4}\).

4) Donne le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\). La mutuelle ne peut fonctionner qu'avec au moins 750 adhérents : est-elle menacée ? Interprète.

5) En calculant les termes un à un, détermine au bout de combien d'années le nombre d'adhérents passe pour la première fois sous 900.

6) Le bureau voudrait que le nombre d'adhérents se stabilise à 1 000 au lieu de 800. Le taux de départ restant de 25 %, combien de nouveaux adhérents faudrait-il recruter chaque année ?

Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(u_1=37\) et de raison \(-4\). Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(S_n=u_1+u_2+\dots+u_n\).

1) Calcule \(u_2\) et \(u_3\), puis exprime \(u_n\) en fonction de \(n\). Donne le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).

2) À partir de quel rang les termes de la suite sont-ils négatifs ? Donne le dernier terme positif et le premier terme négatif.

3) Démontre que, pour tout \(n\geq 1\), \(S_n=-2n^2+39n\). Contrôle cette formule pour \(n=3\) par une addition.

4) Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=-2x^2+39x\). Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variations de \(f\), avec sa limite en \(+\infty\).

5) Déduis du tableau que la plus grande des sommes \(S_n\) est \(S_9\) ou \(S_{10}\), puis détermine cette plus grande somme. Explique ce résultat à l'aide de la question 2.

6) À partir de quel rang la somme \(S_n\) est-elle négative ? Quelle est la limite de la suite \((S_n)\) ?