Terminale A · Leçon 8
Statistiques
Statistiques : vocabulaire, effectifs, fréquences, classes
On appelle série statistique à une variable la donnée d'un ensemble de valeurs \(x_1 < x_2 < \cdots < x_p\) d'un caractère numérique, chacune étant associée à un effectif \(n_i\) représentant le nombre d'individus de la population qui présentent cette valeur. L'effectif total de la série est \(N = \displaystyle\sum_{i=1}^{p} n_i\).
La fréquence de la valeur \(x_i\) est \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\). On vérifie toujours que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p} f_i = 1\). L'effectif cumulé croissant \(N_i\) est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à \(x_i\) : \(N_i = n_1 + n_2 + \cdots + n_i\).
Le mode d'une série statistique est la valeur (ou les valeurs) dont l'effectif est le plus grand. Il existe une seule valeur modale si un effectif est strictement plus grand que tous les autres ; on parle de série bimodale si deux valeurs partagent le même effectif maximal.
Vingt élèves ont obtenu les notes suivantes à un contrôle :
| \(x_i\) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
| \(N_i\) | 3 | 8 | 14 | 18 | 20 |
| \(f_i\) | 0,15 | 0,25 | 0,30 | 0,20 | 0,10 |
Le mode est \(12\) (effectif le plus élevé : \(n_3 = 6\)). La somme des fréquences vaut bien \(0{,}15+0{,}25+0{,}30+0{,}20+0{,}10 = 1\).
Figure 1 — Diagramme en bâtons : effectifs de la série de notes
Mode
Le diagramme en bâtons convient aux séries à valeurs discrètes isolées. Pour des données groupées en classes (caractère continu), on utilise un histogramme : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence divisée par l'amplitude de la classe, de sorte que l'aire totale des rectangles vaut 1.
Confondre effectif cumulé et effectif simple est l'une des erreurs les plus fréquentes. Rappel : \(N_i\) est la somme de tous les effectifs jusqu'à \(x_i\), et non seulement \(n_i\). Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, \(N_3 = 3+5+6 = 14\) et non \(6\).
Paramètres de position : mode, moyenne, médiane
La moyenne arithmétique d'une série à effectifs est le quotient de la somme des produits \(n_i x_i\) par l'effectif total \(N\) :
\[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i. \]La médiane \(M_e\) est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. On la détermine à partir des effectifs cumulés croissants :
- si \(N\) est impair, \(M_e\) est la valeur occupant le rang \(\dfrac{N+1}{2}\) ;
- si \(N\) est pair, \(M_e\) est la moyenne des valeurs aux rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).
Étape 1. Dresser le tableau des \(n_i x_i\) et calculer \(\sum n_i x_i\), puis diviser par \(N\).
Étape 2. Calculer les effectifs cumulés \(N_i\). Trouver le rang médian \(r = \frac{N}{2}\) (ou \(\frac{N+1}{2}\) si \(N\) impair).
Étape 3. Repérer la première valeur \(x_i\) telle que \(N_i \geq r\) : c'est la médiane (si \(N\) impair), ou l'une des deux valeurs à moyenner (si \(N\) pair).
Moyenne :
\[ \bar{x} = \frac{3\times8 + 5\times10 + 6\times12 + 4\times14 + 2\times16}{20} = \frac{24+50+72+56+32}{20} = \frac{234}{20} = 11{,}7. \]Médiane : \(N = 20\) est pair, on cherche la moyenne des valeurs aux rangs 10 et 11. D'après les effectifs cumulés (\(3, 8, 14, \ldots\)), les rangs 9 à 14 correspondent à la valeur \(x_3 = 12\). Les rangs 10 et 11 sont donc tous deux dans ce groupe. La médiane est \(M_e = 12\).
| \(x_i\) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 1 | 3 | 2 | 1 |
| \(N_i\) | 1 | 4 | 6 | 7 |
\(N = 7\) (impair) ; rang médian \(= \frac{7+1}{2} = 4\). \(N_2 = 4 \geq 4\) et \(N_1 = 1 < 4\), donc la médiane est \(x_2 = 4\).
\[ \bar{x} = \frac{1\times2 + 3\times4 + 2\times6 + 1\times8}{7} = \frac{2+12+12+8}{7} = \frac{34}{7} \approx 4{,}86. \]Figure 2 — Effet d'une valeur extrême sur la moyenne et la médiane
Médiane \(M_e\)
Bâtons (effectifs)
La figure ci-dessus illustre une propriété fondamentale : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane y est robuste. En pratique, pour caractériser un salaire typique ou un prix médian, on préfère souvent la médiane précisément parce qu'une valeur atypique très élevée (ou très basse) la fait peu varier.
Si \(N\) est pair et que les deux valeurs centrales sont distinctes, la médiane est leur moyenne : elle peut donc prendre une valeur qui n'appartient pas à la série. Par exemple, avec les rangs centraux donnant \(10\) et \(12\), la médiane est \(11\), valeur absente du tableau. Ce n'est pas une erreur.
Paramètres de dispersion : étendue, écart moyen, variance, écart-type
L'étendue d'une série est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale : \(e = x_{\max} - x_{\min}\). C'est le plus simple des indicateurs de dispersion, mais aussi le plus sensible aux valeurs extrêmes.
La variance \(V\) mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[ V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i^2 - \bar{x}^2. \]L'écart-type est la racine carrée de la variance : \(\sigma = \sqrt{V}\). Il est exprimé dans la même unité que les données. Plus \(\sigma\) est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; la série est dite homogène.
La deuxième expression de la variance (dite formule de König-Huygens) est celle qu'on utilise en pratique car elle évite de calculer les \((x_i - \bar{x})^2\) un par un :
\[ V = \underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i} n_i x_i^2}_{\text{moyenne des }x_i^2} - \underbrace{\bar{x}^2}_{\text{carré de la moyenne}}. \]Étape 1. Calculer \(\bar{x}\).
Étape 2. Dresser le tableau des \(n_i x_i^2\) et calculer \(\displaystyle\sum n_i x_i^2\), puis diviser par \(N\) pour obtenir la moyenne des carrés.
Étape 3. Soustraire \(\bar{x}^2\) : \(V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2\).
Étape 4. \(\sigma = \sqrt{V}\) (toujours positif ou nul).
| \(x_i\) | \(n_i\) | \(n_i x_i\) | \(x_i^2\) | \(n_i x_i^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 3 | 24 | 64 | 192 |
| 10 | 5 | 50 | 100 | 500 |
| 12 | 6 | 72 | 144 | 864 |
| 14 | 4 | 56 | 196 | 784 |
| 16 | 2 | 32 | 256 | 512 |
| Total | 20 | 234 | 2852 |
L'étendue est \(e = 16 - 8 = 8\). Avec un écart-type d'environ \(2{,}39\), la série est assez homogène par rapport à la plage de valeurs possibles.
Considérons deux séries A et B, toutes deux de moyenne \(\bar{x} = 10\) :
| Valeurs | Effectifs | \(\sigma\) | |
|---|---|---|---|
| Série A | 8, 10, 12 | 5, 10, 5 | 1,41 |
| Série B | 4, 10, 16 | 5, 10, 5 | 4,24 |
Les deux séries ont la même moyenne, mais des dispersions très différentes. La série A est bien plus homogène que la série B, ce que reflète un écart-type trois fois plus petit.
Figure 3 — Dispersion autour de la moyenne : effet de l'écart-type
Moyenne \(\bar x\)
\(\bar x \pm \sigma\)
La variance \(V\) s'exprime en unités au carré (par exemple en points² si les données sont des notes). L'écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\) est en revanche homogène aux données et donc directement interprétable. On ne compare jamais deux séries via leur variance si les données sont dans des unités différentes.
La variance est toujours positive ou nulle. Si votre calcul donne une valeur négative, vous avez commis une erreur — le plus souvent en calculant \(\bar{x}^2\) plutôt que \((\bar{x})^2\), ou en vous trompant sur le signe lors de la soustraction. Recommencez depuis \(\bar{x}\).
Résumé
Effectif total \(N = \sum n_i\). Fréquence \(f_i = n_i/N\). Effectif cumulé croissant \(N_i = n_1 + \cdots + n_i\). Mode : valeur d'effectif maximal.
\(\bar x = \dfrac1N\sum n_i x_i\). Médiane via les cumulés : rang \(\frac{N+1}{2}\) si \(N\) impair, moyenne des rangs \(\frac N2\) et \(\frac N2+1\) si \(N\) pair.
Étendue \(e = x_{\max}-x_{\min}\). Variance \(V = \dfrac1N\sum n_i x_i^2 - \bar x^2\). Écart-type \(\sigma = \sqrt{V}\). Plus \(\sigma\) est petit, plus la série est homogène.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; préférer la médiane pour des distributions asymétriques. Deux séries de même moyenne peuvent avoir des dispersions très différentes : toujours calculer \(\sigma\) pour comparer.
Sujet type Bac
Une enquête porte sur les revenus mensuels (en milliers de francs CFA) de \(N = 40\) ménages d'un quartier. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
| Revenu \(x_i\) (en milliers FCFA) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
Question 1 — Tableau des effectifs cumulés et mode. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants \(N_i\) et déterminer le mode de la série.
| \(x_i\) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
| \(N_i\) | 4 | 14 | 28 | 36 | 40 |
Le mode est \(150\) (effectif maximal : \(n_3 = 14\)).
Question 2 — Médiane. Déterminer la médiane \(M_e\) de cette série.
\(N = 40\) est pair. On cherche la moyenne des valeurs aux rangs \(\frac{40}{2} = 20\) et \(\frac{40}{2}+1 = 21\).
D'après le tableau des cumulés : \(N_2 = 14 < 20\) et \(N_3 = 28 \geq 20\). Les rangs 20 et 21 appartiennent donc tous deux au groupe \(x_3 = 150\).
\[ M_e = \frac{150 + 150}{2} = 150 \text{ (milliers FCFA)}. \]Question 3 — Moyenne arithmétique. Calculer la moyenne \(\bar{x}\) des revenus.
La moyenne des revenus est \(\bar{x} = 147{,}5\) milliers de francs CFA.
Question 4 — Variance et écart-type. Calculer la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\). Interpréter.
| \(x_i\) | \(n_i\) | \(x_i^2\) | \(n_i x_i^2\) |
|---|---|---|---|
| 50 | 4 | 2500 | 10000 |
| 100 | 10 | 10000 | 100000 |
| 150 | 14 | 22500 | 315000 |
| 200 | 8 | 40000 | 320000 |
| 250 | 4 | 62500 | 250000 |
| Total | 40 | 995000 |
L'écart-type est d'environ \(55{,}85\) milliers de francs CFA. Cela signifie que les revenus s'écartent en moyenne d'environ \(55\,850\) FCFA de la moyenne \(\bar{x} = 147\,500\) FCFA. La dispersion est modérée (environ \(38\%\) de la moyenne), indiquant une certaine hétérogénéité dans les revenus du quartier.
Question 5 — Comparaison avec un autre quartier. Dans un quartier voisin, une enquête similaire sur 40 ménages donne une moyenne de \(147{,}5\) milliers FCFA et un écart-type de \(12{,}3\).
Les deux quartiers ont exactement la même moyenne : \(\bar{x} = 147{,}5\) milliers FCFA. La différence est dans la dispersion : le quartier voisin a un écart-type de \(12{,}3\), soit environ cinq fois plus petit que \(55{,}85\).
Cela signifie que dans le quartier voisin, les revenus sont bien plus homogènes (concentrés autour de la moyenne), tandis que dans notre quartier, les revenus varient beaucoup plus entre ménages, révélant de plus fortes inégalités. La comparaison des seules moyennes aurait été trompeuse ; l'écart-type est ici l'indicateur décisif.